metodichkaFTUG_chast1

2)

x 1 t, y 2 3t, z 1 5t.5.1) 3; 2) 25. 6.1) 60°;2) 90°. 7.

127

.

13

8.

x 2

y 1

z 3

. 9. x 3 3t, y 1 15t,

z 3 19t;

6

1

7

3.4. Взаимное расположение прямой и плоскости в

пространстве

Пусть прямая L задана каноническими уравнениями:

L :

x x0

y y0

z z0

,

l

m

n

где M0 (x0 , y0 , z0 ) L,

a (l, m, n) || L, а плоскость P задана общим

Al Bm Cn 0,

L || P a n, M0

P

By

Cz

(3.27)

Ax

0

0.

0

0

Al Bm Cn 0,

a n,

(3.28)

L P

P

By0 Cz0

0.

M

0

Ax0

L P M1 a n Al Bm Cn 0.

(3.29)

L P a || n.

(3.30)

sin

(a, n)

Al Bm Cn

.(3.31)

cos(a, n)

a

n

l2 m2 n2

A2 B2 C2

Пример 1. Установить

взаимное расположение

прямой и

x 2 3t,

плоскости: 1) y 1 4t,

и

4x 3y 6z 5 0;

z 5 4t.

2)

x 13

y 1

z 4

и

x 2y 4z 1 0;

8

2

3

3)

x

y 1

z 1

и 5x 7y 13z 13 0.

3

1

4

M0 ( 2,1, 5) , принадлежащей

a (3, -4, 4), координаты точки

прямой. Нормальный вектор n

плоскости имеет координаты

M0 P, а значит, L || P.

2) Прямая L :

x 13

y 1

z 4

имеет направляющий вектор

8

2

3

a (8,

2, 3) и проходит через точку M0

(13, 1,

4).

Нормальный

вектор n плоскости имеет координаты

n (1,

2,

4) .

Найдем

скалярное произведение:

,

81 2 2 3 (4) 8 4 12 0.

a

n

Так как оно равно нулю, то a n.

Проверим принадлежность точки M0

плоскости:

13 2 1 4 4 1 13 2 16 1 0.

Значит, прямая L лежит в плоскости P.

3)

Координаты

направляющего

вектора

прямой

a (1,

4, -3). Нормальный

вектор

n

плоскости

имеет

перпендикулярны, так как

1

4

3

(коэффициенты не

5

7

13

L :

x 8

y 7

z 11

, P : 4x y 3z 5 0.

2

3

1

Решение.

Координаты

направляющего

вектора

прямой

a (3, 2, 1).

Нормальный

вектор

n

плоскости

имеет

координаты n (4, 1,

3).

По формуле (3.31) получаем

3 4 2

1 1 3

(a, n)

13

sin

cos(a, n)

.

a

n

2

2

2

2

2 2

2 91

3 2

1

4

1 3

arcsin

13

Таким образом (L, P)

.

2

91

пересечения:

x 8 3

67

97

,

y 7 2

67

225

,

13

13

13

13

Получили

точку M (

97

,

225

,

76

),

в которой

прямая

1

13

13

13

пересекает плоскость.

Пример

3.

Найти

уравнения

проекции

прямой

L :

x 4

y 1

z

на плоскость

P : x 3y z 8 0 .

2

3

4

Решение.

Найдём

уравнение

плоскости P ,

которая

1

Уравнение

плоскости P можно

составить по

любой

1

точке, которая принадлежит прямой

L , направляющему

вектору прямой L и вектору нормали плоскости P .

Из равнений прямой

L

получаем координаты

направляющего

вектора a (3,

2, 4), координаты

точки

плоскости P имеет координаты n (1,

3,

1).

Составим уравнение

плоскости

P ,

воспользовавшись

1

x 4

y 1

z

формулой (3.11):

3

2

4

0.

1

3

1

x 4

y 1

z

2

4

3

4

3

2

3

2

4

(x 4)

(y 1)

z

(x 4)(2 12)

1

3

1

3

1

1

1

1

3

2) L :

x 1

y 3

z 2

, P : x y 2z 2 0;

1

7

2

2)

x 3

y

z 1

и x 2y z 10 0;

4

1

1

2.1. При каком значении

m прямая

x 1

y 2

z 3

2

3

m

параллельные прямые

x 2

y 1

z 3

,

x 1

y 2

z 3

.

2

3

2

3

2

2

x y z 2 0,

2.5. Найти

угол между

прямой

и

2x y z 1 0.

плоскостью,

проходящей

через

точки

A(2, 3, -1) ,

A(1, 2, 2) перпендикулярно прямой

x 3

y 6

z 3

.

3

4

2

M (1, 2, 1)

x 2 y z 3 0,

перпендикулярно к прямой

x y z 2

0.

точку M (1,

2, 1) параллельно прямым

x 1

y 1

z 1

,

x 5

y 2

z 3

.

2

3

3

3

2

1

проходит через точку M (3, 2, -4)

параллельно

плоскости

3x 2y 3z 7 0 и пересекает прямую

x 2

y 4

z 1

.

2

3

2

2.13. Найти проекцию точки M (5, 2, -1) на плоскость

2x y 3z 23 0 .

2.14.

Найдите

точку, симметричную

точке A(6, 5, 5)

относительно плоскости 2x 3y z 4 0.

2.15.

Найдите

проекцию

прямой

L

на

плоскость

3x 2y z 15 0, если она задана уравнениями:

x 1 2t,

x y z 5 0,

3

t,

2)

1) y

0.

2

t;

2x 3y z 4

x

x 1

y 2

z 5

x 7 3t,

2. Доказать, что прямые

и y 2 2t,

2

3

4

z 1 2t.

1)

x 1

y 1

z

, 2x 3y z 1 0 ;

1

2

6

2)

x 3

y 2

z 1

,

x 2 y z 15 0 ;

1

3

5

3)

x 2

y 1

z 3

,

x 2 y 2z 6 0 .

2

3

2

4.

При каких значениях t и С прямая

x 2

y 1

z 5

3

t

4

перпендикулярна к плоскости 3x 2y Cz 1 0 .

5.

Составить уравнения прямой, проходящей через точки

пересечения плоскости x 3y 2z 1 0 с прямыми

x 5

y 1

z 3

и

x 3

y 4

z 5

.

5

2

1

4

6

2

6.

Составить уравнения прямой, проходящей через точку

M(2, 3, -5) перпендикулярно к плоскости

6x 3y 5z 2 0.

7.

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку

M (1,

1, 1)

перпендикулярно прямой

x 3

y 1

z 2

.

3

2

4

8.

Составить

уравнение плоскости,

проходящей через

прямую

x 1

y 2

z 2

перпендикулярно к плоскости

3

2

2

x 5

y 6

z 3

,

x 2

y 3

z 3

.

4

4

13

1

13

1

11. Найти точку Q, симметричную

точке

P(3, 4, -6)

относительно

плоскости,

проходящей через

M1 ( 6, 1, -5) ,

M2

(7,

2, -1) ,

M3 (10, 7, 1) .

Ответы.

1. С = — 2. 2.

2x 16y 13z 31 0. 3.

1)

(2,

3, 6);

2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая лежит на

плоскости.

4.

t 6 , С

=

3

.

5.

x 1

y 2

z 3

.

6.

1

2

7

5

x 2

y 3

z 5

. 7.

2x 3y 4z 1 0.

3

6

5

8. 4x 6y 5z 1 0. 9. x 8y 13z 9 0. 10. (2,

3, -5) . 11.

Q

(1; 2; —2).

3.5. Кривые второго порядка на плоскости

Ax2 By2 2Cxy 2Dx 2Ey F 0,

(3.32)

1) Эллипс

x2

y2

1.

a2

b2

2) Гипербола

x2

y2

1 .

a2

b2