metodichkaFTUG_chast1
.pdf
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1/ 4 |
|
0 |
|
7 / 3 |
2 |
|
1/ 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответы. 1) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
; |
5 / 3 |
|
1 |
|
1/ 3 ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 / 2 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 8 |
1/ 4 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1/ 9 |
2 / 9 |
|
2 / 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4) |
|
38 41 |
|
34 |
; 5) |
|
2 / 9 1/ 9 |
|
2 / 9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
29 |
24 |
|
|
|
|
|
2 / 9 |
|
2 / 9 |
1/ 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. 1) 2 |
23; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
1 |
|
2 / 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
3) |
|
2 / 3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 /10 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
19 /10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 / 3 |
|
1/ 3 |
|
|
|
|
|
|
||
4) |
7 |
14 / 5 19 / 5 |
5) |
10 / 3 |
|
5 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
6 |
13 / 5 18 / 5 |
|
|
|
|
|
5 / 3 1/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2. |
1) r = 2, M 2 |
|
|
11 |
|
; 2) r = 1, M1 21; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 3 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
M 2 |
|
1 |
3 |
|
||||||||||||||||
3) r = 2, M 2 |
; |
4) r = 2, M 2 |
; |
5) r = 2, |
|
; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 3 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6) r = 4, M 4 |
|
|
; |
|
7) r = 3, M3 |
1 2 3. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4. Системы линейных уравнений |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a11x1 a12 x2 |
... a1n xn |
b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a22 x2 |
... a2n xn |
b2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
a21x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
|||||||||||||||||
|
|
|
................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
a |
|
x |
|
... a |
x b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
m1 |
1 |
|
|
m2 2 |
|
|
|
|
mn |
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где aij – коэффициенты системы, bj – свободные члены, хj –
31
|
|
|
|
|
|
|
неизвестные, i 1, m, |
j 1, n. |
|
||||
Матричная запись СЛАУ |
|
|||||
|
|
|
|
|
AX B, |
(1.9) |
где A aij m n – матрица системы, |
B bj m 1 – матрица- |
|||||
столбец свободных |
членов bj, |
X – матрица-столбец |
неизвестных, т. е. такая, которая обращает матричное уравнение (1.9) в равенство (является решением этого уравнения).
Решением системы (1.8) называется упорядоченная |
||
совокупность |
x10 , x20 , ..., xn0 |
n чисел, которые после |
подстановки в уравнения системы вместо соответствующих переменных обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Система (1.8) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и неопределенной – если более одного решения. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.
Критерий совместности системы (теорема Кронекера-
Капелли): для того чтобы система (1.8) была совместной, |
||
необходимо и достаточно, чтобы rA rA/ B , где |
A / B |
– |
расширенная матрица системы (1.8), т. е. матрица А системы, к которой добавлен столбец B свободных членов.
Рассмотрим систему n n , имеющую вид:
a11x1 a12 x2 |
... a1n xn |
b1 , |
|
|||
|
|
|
... a2n xn b2 , |
|
||
a21x1 a22 x2 |
(1.10) |
|||||
............................................... |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
x a |
x |
... a |
x |
b , |
|
n1 |
1 |
n2 2 |
nn |
n |
n |
|
или в матричном виде AX B.
Определителем системы (1.10) называется определитель матрицы этой системы: det A. Если 0, то система называется невырожденной; если 0 – вырожденной.
Методы решения невырожденных систем используются для решения линейных систем (1.10), состоящих из n уравнений с n неизвестными, для которых 0.
Метод обратной матрицы (матричный метод) состоит в
32
решении матричного уравнения X A 1 B. |
(1.11) |
|||||
Метод Крамера. Неизвестные находят по формулам |
||||||
|
i |
|
|
|
|
|
x |
, i 1, n, |
(1.12) |
||||
|
||||||
i |
|
|
||||
|
|
где i – определитель, получаемый из определителя системы (1.10) заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Решение произвольной линейной системы из m уравнений и n неизвестных начинается с нахождения ранга.
|
Если |
система |
(1.8) |
совместна, rA rA/ B r , и, например, |
|||||||
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M |
r |
|
a21 a22 |
... |
a2r |
– базисный минор матрицы системы, то |
|||||
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ar1 |
ar 2 |
... |
arr |
|
|
|
|
|
она равносильна системе |
|
|
|
||||||||
a11x1 a12 x2 |
... a1r xr |
a1,r 1xr 1 |
... a1n xn |
b1 , |
|||||||
|
|
|
a22 x2 |
... a2r xr a2,r 1xr 1 ... a2n xn b2 , |
|||||||
a21x1 |
|||||||||||
................. |
|
|
|
|
|
|
(1.13) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
x |
a |
x |
... a x |
a |
x |
... a x |
b , |
||
|
r1 1 |
|
r 2 2 |
|
|
rr r |
|
r ,r 1 r 1 |
rn n |
r |
|
|
Если r n, |
то система (1.13) имеет единственное решение, |
|||||||||
которое |
можно получить |
указанными выше методами; если |
|||||||||
r n, |
то существует бесконечное множество решений. Для его |
получения неизвестные x1, x2, …, xr называют базисными, xr + 1, xr + 2, …, xn – свободными, система (1.13) записывается в виде
a11x1 a12 x2 ... |
a1r xr b1 a1,r 1xr 1 ... |
a1n xn , |
|||
|
|
|
|
|
|
................................................................................ |
|||||
|
|
|
|
|
|
a x a x ... |
a x b a x |
... |
a x . |
||
r1 1 r 2 2 |
rr r |
r |
r ,r 1 r 1 |
|
rn n |
Свободным переменным присваиваются произвольные числовые значения с1, с2, …, сn – r.
Последняя система решается, например, методом Крамера. Метод Гаусса – метод последовательного исключения
неизвестных, используют для решения произвольных систем. С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу системы (1.8) приводят к ступенчатому виду:
33
c |
c |
... |
c |
... |
c |
|
|
11 |
12 |
|
1r |
|
1n |
0 |
c22 |
... |
c2r |
... |
c2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... ... ... |
||||||
0 |
0 |
... |
crr |
... |
crn |
|
|
0 |
0 |
... |
0 |
... |
0 |
|
||||||
... ... ... ... ... ... |
||||||
|
0 |
0 |
... |
0 |
... |
0 |
|
d |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d |
r |
, где |
c 0, i 1, r. |
||
|
|
ij |
|||
dr 1 |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dm |
|
|
|
Соответствующая ей система, равносильная (1.8), примет вид:
c x |
c x |
|
... c |
x |
|
... |
c |
x |
|
d , |
|
|
|
11 1 |
12 |
2 |
1r |
|
r |
|
1n |
|
n |
1 |
|
|
|
c22 x2 ... c2r xr ... |
c2n xn d2 , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
dr , |
(1.14) |
|
|
|
|
crr xr |
crn xn |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 dr 1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 dm . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если хотя бы одно из чисел dr 1, dr 2 ,..., dm |
отлично от нуля, |
то система (1.14), а значит, и исходная система (1.8) не совместны.
Если dr 1 dr 2 ... dm 0, то:
1) при r n системы (1.14) и (1.8) имеют единственное решение, поскольку свободные переменные отсутствуют (сначала находим из последнего уравнения системы (1.13) xn ,
из предпоследнего xn 1 и т. д.);
2) при r n система (1.14) позволяет получить явное выражение для базисных неизвестных x1, …, xr через свободные неизвестные xr+1, …, xn. Значения базисных переменных ищутся в обратном порядке. Таким образом, получают бесконечное множество решений.
Однородная система линейных уравнений AX O всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r rA n.
Для однородных систем базисные переменные выражаются
34
через свободные переменные соотношениями вида:
x |
d |
|
x |
d |
x |
r 2 |
... d |
x , |
||||
|
1 |
|
11 |
r 1 |
12 |
1 n r n |
|
|||||
x2 |
d |
21xr 1 |
d22 xr 2 |
... d2 n r xn , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
r |
d |
r1 |
x |
d |
x |
2 |
... d |
r n r |
x |
. |
|
|
|
r 1 |
|
r 2 r |
|
n |
|
Пример 1. Решить разными способами систему уравнений
x1 |
5x2 |
2, |
|
|
|
x2 |
x3 4, |
2x1 |
|||
3x |
2x |
x 2. |
|
|
1 |
2 |
3 |
Решение. 1-й способ. Используем метод обратной матрицы. Запишем матрицу системы:
1 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
A 2 |
1 |
1 |
. |
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
Матрица А невырожденная, так как ее определитель не равен нулю. Действительно,
|
1 |
5 |
|
0 |
|
|
1 |
5 |
0 |
|
|
|
1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
1 1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
2 0. |
|
|
|
|
(1.14) |
||||||||||||
|
3 |
2 1 |
|
|
1 |
3 |
0 |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Найдем обратную матрицу А–1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
А11 = –3; |
|
|
|
|
|
|
А21 = –5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А31 = 5; |
|
|
||||||||
А12 = 1; |
|
|
|
|
|
|
А22 = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А32 = –1; |
|
|||||||||
А13 = 7; |
|
|
|
|
|
|
А23 = 13; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А33 = –11. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, A 1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Используем далее формулу (1.11): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
5 |
2 |
|
|
|
4 |
2 |
|||||||||||||
X A 1B |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
16 |
|
|
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
13 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. x1 = –2, x2 = 0, x3 = 8 – единственное решение.
35
Получаем ответ: (–2; 0; 8).
2-й способ. Используем формулы Крамера (1.12). Вычисляем определитель системы (1.14).
Заменяем в определителе первый столбец столбцом свободных членов и вычисляем
|
|
2 |
5 |
0 |
|
2 |
5 |
0 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
1 |
1 |
|
4 1 |
1 |
|
4. |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
2 |
2 1 |
|
2 |
3 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяем в определителе второй столбец столбцом свободных членов и вычисляем
|
2 |
0 |
|
1 |
2 |
0 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
0. |
|||||||
2 4 1 |
2 4 1 |
|
|
||||||||||
|
3 |
2 1 |
|
1 |
2 |
0 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяем в определителе третий столбец столбцом свободных членов. Тогда
|
5 |
2 |
|
1 5 |
2 |
|
4 |
9 |
|
2 28 36 16. |
|||
|
1 |
|
|
|
|||||||||
3 |
2 |
1 |
4 |
|
4 |
9 |
0 |
2 |
|
||||
|
3 |
2 |
|
2 |
|
4 |
7 |
0 |
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, используя формулы (1.12), получим:
x 1 |
4 2; |
x 2 |
|
0 |
0; |
x 3 |
|
16 |
8. |
|||
1 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем решение (–2; 0; 8).
3-й способ. Используем метод Гаусса. Приведем заданную систему к равносильной. Для этого осуществим элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:
1 5 0 |
|
2 |
1 |
5 0 |
|
2 |
1 |
5 0 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A / B 2 |
1 1 |
|
4 |
~ 0 |
11 1 |
|
8 |
~ 0 |
2 0 |
|
0 |
~ |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
13 1 |
|
|
|
13 1 |
|
|
|
||
3 2 1 |
|
|
0 |
|
8 |
0 |
|
8 |
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
5x2 |
2, |
Последней матрице соответствует система x2 |
0, |
|
x |
8. |
|
3 |
|
|
Из нее последовательно находим неизвестные, начиная с x3:
36
x3 8, x2 0, x1 2 5 0 2,
Таким образом, приходим к ответу (–2; 0; 8).
Пример 2. Исследовать систему на совместность и найти ее решение
x1 x2 x3 x4 x5 7,3x1 2x2 x3 x4 3x5 2,
x2 2x3 2x4 6x5 23,
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 12.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
7 |
|
1 1 |
1 |
1 |
1 |
|
7 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
1 |
|
2 |
~ |
0 1 |
2 |
2 |
6 |
|
23 |
~ |
||||||
A/ B |
0 |
1 |
2 |
2 |
6 |
|
23 |
|
|
0 |
1 |
2 |
2 |
6 |
|
23 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
3 |
3 |
1 |
|
12 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
2 |
6 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
0 |
1 |
2 |
2 |
6 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наибольший порядок отличных от нуля миноров равен 2 (так как любой минор 3-го порядка содержит нулевую строку, то он будет равен нулю). Значит, rA rA B 2, т. е. исходная система
совместна. Поскольку ранг меньше количества неизвестных (2 < 5), то система имеет бесконечное множество решений.
Выберем в качестве базисного минор M 2 |
1 |
1 |
. Тогда х1, х2 – |
|
|
|
0 |
1 |
|
базисные неизвестные, х3, х4, х5 |
– свободные. Система, |
|||
равносильная исходной, имеет вид: x1 |
x2 7 x3 x4 x5 , |
|||
|
x2 23 2x3 2x4 6x6 . |
Полагаем х3 = с1, х4 = с2, х5 = с3, где с1, с2, с3 – произвольные постоянные, и решаем указанную систему. Получаем:
x2 23 2c1 2c2 6c3 ,
x1 7 c1 c2 c3 23 2c1 2c2 6c3 16 c1 c2 5c3.
Таким образом, решение примет вид:
16 c1 c2 5c3; 23 2c1 2c2 6c3; c1, c2 , c3 , где c1, c2 , c3 R.
37
Задания для решения в аудитории
I уровень
1.1. Используя формулы Крамера и метод обратной матрицы, решите систему уравнений:
x 2 y 6, 1)
x y 3;
2x 3y z 6,
4)x y 7z 8,3x y 2z 7.
2) y x 1 0, |
x y z 2, |
3) 2x y 4z 1, |
|
y x 1 0; |
|
|
x 6 y z 5; |
1.3. Используя теорему Кронекера-Капелли, исследуйте систему на совместность и найдите решение методом Гаусса:
1) |
5x1 |
10x2 3, |
2) |
5x1 10x2 |
20, |
|||
|
6x2 1; |
|
|
6x2 |
12; |
|||
|
3x1 |
|
3x1 |
|||||
|
5x1 10x2 3, |
|
5x1 10x2 x3 1, |
|||||
|
|
|
|
5x2 |
2x3 2, |
|||
3) |
5x2 1; |
4) |
3x1 |
|||||
|
3x1 |
|
2x 52x x 1. |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
II уровень
2.1. Решите систему уравнений, используя формулы Крамера:
2x 5 y 1,
1) ax 5 y 2a 5;
x 2 y z 12, 4) 3x y 4z 13,
x 5y z 27;
2.2. Решите систему матрицы:
2x 3y z 0,
1)x 2 y 4z 9,y z 2;
2) |
x 2 y z 5, |
3) |
x1 x2 x3 0, |
|||
|
|
x2 |
x3 |
0; |
||
|
3x y z 4; |
|
2x1 |
2x 4 y 3z 14,
5)3x y 4z 13,x 5y z 27.
уравнений, пользуясь методом обратной
2x 3y z 1,
2)x 2 y 4z 9,x 12 y 14z 1.
38
2.3. Исследуйте систему на совместность и решите методом Гаусса:
|
4x y 3z 1, |
|
x 2x x 3x 4x 2, |
||||
|
|
1 |
2 3 |
4 |
|
5 |
|
1) |
|
2) |
2x1 x2 3x3 2x4 x5 4, |
||||
7 y 2z 2, |
|
4x2 2x3 5x4 |
3x5 6, |
||||
|
|
|
x1 |
||||
|
8x 9 y 4z 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 15x 6x 19x 9x 2. |
||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
2.4. Найдите ненулевое решение однородной системы линейных уравнений:
|
x1 3x2 x3 x4 0, |
|
x1 x2 3x4 x5 0, |
|
|||||||
|
|
|
5x2 x3 7x4 0, |
|
|
x2 |
2x3 x4 |
0, |
|||
1) |
2x1 |
2) |
x1 |
||||||||
|
|
x2 x3 3x4 0, |
|
|
|
6x3 3x4 |
4x5 0, |
||||
|
2x1 |
|
4x1 2x2 |
||||||||
|
4x 7x x 5x 0; |
|
2x 4x 2x 4x 7x 0. |
||||||||
|
|
1 |
2 3 |
4 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
2.6. Решите неоднородную систему линейных уравнений:
|
2x1 x2 x3 x4 x5 1, |
|
x 2x x x x 1, |
||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||||||
|
|
x2 |
x3 x4 |
2x5 |
0, |
|
x1 3x2 5x3 4x4 1, |
||||||
1) |
x1 |
2) |
|
|
3x2 2x3 2x4 x5 1, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|||||||
|
3x 3x 3x 3x 4x 2, |
|
x 2x x x x 3, |
||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4x 5x 5x 5x 7x 3; |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x 4x x x x 3. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Задания для самостоятельного решения
1. Решите систему уравнений, пользуясь методом обратной матрицы и методом Крамера:
1) x y 1, |
2) 3x 2 y 1, |
2x1 3x2 x3 2, |
|||||
3) x1 |
5x2 |
4x3 |
5, |
||||
2x y 5; |
x 5y 9; |
4x |
x |
2 |
3x |
4; |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
2x1 4x2 3x3 1, |
|
x1 3x2 2, |
5x1 x2 x3 0, |
||||||||||
4) x1 2x2 4x3 3, |
5) x1 x2 x3 3, |
6) |
4x1 3x2 3, |
||||||||||
|
3x x |
2 |
5x |
3 |
2; |
|
2x 5x |
3 |
13; |
|
x 2x |
2 |
2. |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2. Исследуйте систему на совместность и решите методом Гаусса:
39
|
x 2x |
2 |
|
3x |
1, |
|
|
|
x 2x |
2 |
3x |
5, |
|
x 2x |
2 |
x 4, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
||||||
1) |
2x1 |
4x2 x3 |
12, |
|
2) |
|
2x1 |
x2 x3 |
1, |
3) |
3x1 5x2 |
3x3 1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x x |
2 |
|
3x 9; |
|
|
|
|
|
x 3x |
2 |
4x 6; |
|
2x 7x |
2 |
x 8; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|||||
|
x1 x2 x3 a, |
|
|
|
|
|
2x1 2x2 x3 x4 4, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 x3 2x4 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x1 x2 x3 b, 5) |
|
|
|
|
|
3x |
4x |
|
|
|
12, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x 5x |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x c; |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3x 3x |
|
|
2x 2x |
|
|
6; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2x1 3x2 11x3 5x4 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x1 x2 5x3 2x4 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2x |
x |
|
|
3x |
2x |
|
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
x |
2 |
3x |
4x |
4 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3. Исследуйте систему на совместность и, если она |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
совместна, |
|
|
решите её: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2x1 x2 3x3 7x4 5, |
|
|
|
|
|
9x1 3x2 5x3 6x4 4, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
6x1 3x2 x3 4x4 7, |
|
2) |
6x1 2x2 3x3 x4 5, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4x |
2x |
2 |
14x 31x |
4 |
18; |
|
|
|
|
3x |
x |
2 |
|
3x |
14x |
4 |
8; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2x1 x2 x3 x4 |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
3x1 5x2 2x3 0, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
7x2 |
|
5x3 0, |
|
|
|
|
|
|||||||||
3) |
3x1 2x2 2x3 3x4 |
4) |
|
4x1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5x |
x |
|
|
|
|
x 2x |
|
|
|
1, |
|
|
x |
x |
|
|
4x |
0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2x x |
2 |
|
x 3x |
4 |
|
4; |
|
|
|
|
|
|
2x 9x |
2 |
|
6x 0; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x1 2x2 x3 x4 |
|
x5 0, |
|
|
|
|
|
3x1 2x2 x3 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x1 x2 x3 x4 |
|
x5 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x3 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x 7x |
|
|
|
5x 5x |
|
|
|
5x 0, |
|
2x1 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
x 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3x x |
|
|
2x x |
|
|
|
x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
|
1) |
|
|
x 2, y 1; |
|
|
|
|
|
|
2) x 1, y 2; |
|
|
|
|
|
3) |
x1 5, x2 6, x3 10; 4) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x1 1, x2 0, x3 1; 5) x1 1, x2 1, x3 3; 6) x1 0, x2 1, x3 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. 1) x1 1, x2 2, x3 2; |
2) x1 1, x2 1, x3 2; |
3) x1 1, x2 1, x3 1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4) x1 b c / 2, x2 a b / 2, x3 a c / 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40