Нахождение главных осей

Главные оси во многих случаях могут быть найдены без громоздких математических расчетов, которые надо провести для диагонализации тензора инерции. Для этого иногда бывает достаточно воспользоваться простыми соображениями симметрии. Пусть имеется плоская пластинка бесконечно малой толщины. Точка, через которую проходят главные оси, лежит на пластинке. Направим ось перпендикулярно ей. Очевидно, что координатывсех точек пластинки равны нулю, т.е. все. В этом случае из формулы (3) имеем. Следовательно, любая ось, перпендикулярная этой пластинке, будет главной. Две другие главные оси расположены в плоскости пластинки взаимно перпендикулярно друг другу. Их направление зависит от формы пластинки.

Рассмотрим случай круглой пластинки (рис.3) конечной толщины. Точка, лежащая в средней плоскости пластинки, есть точка, относительно которой надо найти главные оси. Очевидно, что одна главная ось направлена перпендикулярно плоскости пластинки. Утверждается, что другой главной осью является ось, лежащая в средней плоскости и проходящая через эту точку и центр диска. Эта ось на рис.3 взята за ось. Убедимся в этом. Имеем:

Видно, что ииз-за симметрии пластинки относительно плоскостейи. Таким образом, выбранная ось действительно является главной. Третья главная ось однозначно определяется двумя найденными, будучи перпендикулярной им обеим. Проверим, что осьдействительно является главной. Имеем:

(7)

Равенства обусловливаются симметрией пластинки относительно плоскости.

Если круглая пластинка имеет значительную толщину, то она называется круглым цилиндром. Все изложенные о главных осях пластинки соображения остаются, конечно, справедливыми и для цилиндра.

Моменты инерции относительно осей

Известно, что момент импульса относительно оси, проходящей через центр масс, можно записать так:

, (8)

где- тензор момента инерции относительно системы координат, начало которой совпадает с центром масс. Компонентыбудут постоянны во времени, если система координат неизменно связана с телом.

Зная , можно найти момент инерции относительно любой оси, проходящей через- центр масс тела. Пусть направление оси вращения задано вектором. Тогда, учитывая, что, по формуле (8) проекциюнаможно записать так:, где- момент инерции относительно оси. Или:. Если записать числочерез компоненты тензораI₀ и вектора, то получим довольно громоздкое выражение. Приведем более краткую и ясную формулу, приняв за оси координат главные направления; тогда, где– направляющие косинусыпо отношению к осям. Следовательно:

.

Поэтому:

.(9)

где– моменты инерции относительно главных осей, проходящих через центр масс. По формуле (9) можем при известныхиточно определить момент инерции относительно любой оси.

Описание эксперимента

Итак, для момента инерции имеем формулу:

, (10)

где - направляющие косинусы;- моменты инерции относительно осей, проходящих через середины противоположных граней и через геометрический центр прямой призмы – точку(осина рис.4), а– момент инерции относительно диагональной оси, проходящей через противоположные вершины груза (ось).

Запишем выражение для уравнения колебаний физического маятника

, (11)

которое можно переписать в виде:

, (11а)

где - момент инерции маятника, а. Выразим момент инерциичерез период колебаний, т.е.

, (12)

где

(13)

Подставляя эти соотношения в формулу (10), получим:

(14)

или

(14а)

Теперь рассмотрим для примера образец в виде прямого параллелепипеда с ребрами . Для его диагонали квадраты направляющих косинусов имеют вид:

(15)

Тогда выражение (14а) принимает вид:

, (16)

где

.

Следовательно

, (17)

где левая часть

,

а правая часть

.

И тогда соотношение (17) можно записать в виде:

(18)

Таким образом, проверка выполнения соотношения для моментов инерции (10) сводится в эксперименте к проверке соблюдения соотношения для периодов колебаний(18), что и является задачей этой лабораторной работы.

Величины определяются экспериментально из 5 опытов.

Для каждого периода колебаний вычисляются

определяется по формуле: , где– коэффициент Стьюдента.

(19)

Затем рассчитывается

определяется по формуле

(20)

Для расчета доверительного интервала находят среднее квадратичное величины

где

(21)

где – коэффициент Стьюдента.

Порядок проведения работы

Задача работы: оценка моментов инерции твердых тел правильной геометрической формы методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности: унифилярный подвес, набор образцов (тел правильной геометрической формы), штангенциркуль.

1. Подготовить прибор к работе, установить магнит в выбранном положении.

2. Измерить с помощью штангенциркуля геометрические размеры образца – длину, высоту и ширину – в формуле (20).

3. В рамке прибора закрепить образец по оси, проходящей через центры противоположных граней (главная ось).

4. Поворачивая рамку прибора, приблизить ее стрелу к электромагниту таким образом, чтобы электромагнитная сила фиксировала положение рамки.

5. Нажать кнопку «Пуск».

6. После считывания измерителем не менее 10 крутильных колебаний, нажать кнопку «Стоп».

7. Вычислить период колебаний крутильного маятника по формуле , где– число колебаний,- их время.

8. Повторить опыт 5 раз. Вычислить среднее значение квадрата периода. Вычислить среднее квадратичноепо формуле (19).

9. Поочередно закрепляя образец относительно двух других главных осей, повторить эксперимент согласно пунктам 4 – 8, определив, таким образом, средние квадраты периодов . Заполнить таблицу 1.

   Образец №

   a, m

   b, m

   c, m

   a2, m2

   b2, m2

   c2, m2

   r2, m2

   a4, m4

   b4, m4

   c4, m4

   №

   Tx, c

   T2x

   Tx - <T2x>

   (Tx - <T2x>)2

   Ty, c

   T2y

   Ty -<T2y>

   (Ty - <T2y>)2

   Tz, c

   T2z

   Tz - <T2z>

   (Tz - <T2z>)2

   Tэксп, c

   1

   …

   5

10. Закрепить образец вдоль его пространственной диагонали. Повторить эксперимент, описанный в пунктах 4. – 8. Данные занести в таблицу.

11. Определить доверительный интервал, используя формулу (19). Записать ответ в виде:.

12. Рассчитать среднее значение периода колебаний относительно оси, совпадающей с пространственной диагональю образца, определить доверительный интервал, используя формулы (20) и (21). Записать результат в виде: .

13. Сравнить и. Сделать вывод.

14. Повторить весь эксперимент для другого образца.