Матрица предпочтений для ранжирования с помощью парного сравнения

Фактор	А	B	C	D	Ранг
А		1 0	0 1	0 1	1
В	0 1		0 1	0 1	0
С	1 0	1 0		1 0	3
D	1 0	1 0	0 1		2

В некоторых случаях сначала производится предварительное ранжирование факторов, а затем, с помощью метода парных сравнений, — уточнение их предпочтительности. В конце этого параграфа дан числовой пример такой процедуры. Поскольку обычно в процедуре парного сравнения участвуют несколько экспертов, то сначала каждый из них заполняет матрицу А, а затем полученные индивидуальные предпочтения усредняются с учетом мнений всех экспертов.

На основе этого строится вторая матрица (Р), показывающая процентное отношение случаев, когда фактор i оказывался более значимым, нежели фактору, в общем числе полученных оценок (табл. 7.9).

Элементы матрицы Р обладают тем свойством, что р_ij = х_ij/т, где т — число экспертов; кроме того, р_ij + р_ji = 1.

Таблица 7.9.

Матрица р: доля случаев, когда фактор I предпочтительнее фактора j

Фактор i	Фактор j						Сумма ряда
	1	2	…	j	...	n
1 2 … i … n	— p21 pi1 pn1	p12 — pi2 pn2		p1j p2j pij pnj		p1n p2n pin —	p1 p2 pi pn

После получения обобщенной матрицы предпочтений Р, элементы которой р_ij представляют относительное число предпочтений, полученных от всех экспертов, по каждому фактору перед каждым другим фактором, производится их шкалирование. Шкалирование может быть основано на законе сравнительных суждений, впервые сформулированном Л. Терстоуном. Суть этого подхода состоит в следующем.

Если парное сравнение факторов выполняется относительно большим числом экспертов (т  25), то полученные разности между их оценками обладают нормальным распределением.

Пусть т экспертов приписывают п признакам R_i (i₁, i₂, ..., i_n) числа S_j (j₁ j₂,…, j_n), в соответствии со степенью обладания ими каким-то качеством X. Тогда числа S_j представляют собой шкальные оценки R_i, а разность между такими оценками двух объектов R_i и R_j (если оценки не коррелируют между собой) можно выразить с помощью модели шкалы

S_i - S_j = Z_ij_ij , (7.9)

где S_i, S_j — шкальные оценки факторов;

_ij — среднее квадратическое (стандартное) отклонение предполагаемого распределения различий между S_i и S_j,

Z_ij — нормированное отклонение, соответствующее р_ij, представляющему долю случаев предпочтения фактора i фактору j, т.е.

Взаимоотношение между Z_ij и р_ij иллюстрирует рис. 7.3, где заштрихованная площадь под кривой показывает относительное число предпочтений фактора i фактору j, когда Z_ij измеряется в единицах стандартного отклонения.

Для упрощения можно принять, что _ij в формуле (7.9) равно единице, тогда

S_i – S_j = Z_ij

При этом допускается, что площадь под кривой нормированного нормального распределения от - 3 до +3 равна единице.

В действительности реальные оценки отличаются от ожидаемого ряда Z_ij. Поэтому задача заключается в нахождении множества оценок, для которых это расхождение будет минимальным.

Таким образом, процедура построения шкальных оценок состоит в том, чтобы обратить наблюдаемые отношения р_ij (матрица Р) в ожидаемые Z_ij по уравнению (7.11), используя таблицу нормированного нормального распределения. Эти Z_ij составляют матрицу с двумя входами или матрицу основного преобразования Z, с рядами цифр для каждого фактора i и столбцами цифр для каждого фактора j, как это показано в табл. 7.10.

В матрице Z каждая оценка z_ij — это различие между параметром i и параметром j в стандартных отклонениях, причем сумма этих оценок Z_i = Sz_i, а среднее значение ,, где т — число экспертов.

Таблица 7.10.

Матрица Z: основное преобразование (различия)

Фактор i	Фактор j							Всего	Среднее значение
	1	2	3	…	j	...	n
1 2 3 … i … n	— z21 z31 zi1 zn1	z12 — z32 zi2 zn2	z13 z23 — zi2 zn3		z1j z2j z3j zij znj		z1n z2n z3n zin —	Z1 Z2 Z3 Zi Zn	Z̅1 Z̅2 Z̅3 Z̅i Z̅n

При этом р_ij рассматривается как площадь нормированного нормального распределения от -  до Z Значения функции такого распределения приведены во многих книгах по статистике.

Заметим, что z_ij логически равно нулю и что z_ij = - z_ij. Если любое z_ij оказывается большим, чем +2,0, или же меньшим, чем —2,0, оно отвергается как нестабильное. Если ни одна из оценок z_ij не будет отвергнута на основании этого правила, то шкальная оценка фактора i будет равна средней величине всех оценок в i-м столбце данной матрицы. Когда некоторое z_ij отвергается, то в таблице ставится прочерк. Для каждой пары последовательных столбцов данных необходимо рассчитать разность оценок и поместить ее в отдельную матрицу различий. При этом разница между двумя прочерками или между значением и прочерком считается несущественной, и в матрице различий ставится прочерк. Таким образом, произвольно установив S₁ = 0, можно определить остальные шкальные оценки.

Очевидно, что метод парных сравнений является интервальным, поскольку не только шкальный фактор, но и нулевая точка шкалы устанавливаются здесь произвольно.

При большом числе факторов может быть использован другой интервальный метод, называемый методом последовательных интервалов. Здесь принимается, что границы интервалов могут быть установлены так, чтобы все распределения суждений о факторе были нормальными (см. [7.1]).

Представим, что интервалы проранжированы в порядке от наименее до наиболее предпочтительного. Пусть p_jg — относительное число экспертов, которые поместили фактор j в интервале g или в любом другом интервале меньшего рангового порядка. Пусть Z_jg будет нормированным нормальным отклонением, соответствующим p_jg. Тогда

,

где t - граница между интервалами g и g + 1;

S_j — шкальная оценка фактора j;

_j — стандартное отклонение фактора j.

Принимая s_j = 1, получим

(7.13)

На рис. 7.4 показано распределение двух признаков с различным стандартным отклонением.

Для получения шкальных оценок S и границ интервалов t_g, эксперты должны расположить т факторов в М интервалах (М < т).

Тогда относительное число экспертов, которые поместили фактор j в интервале g или в любом другом интервале меньшего ранга, p_jg = я,.. /N.

Затем по таблице нормированного нормального распределения в соответствии с формулой (7.12) для каждого p_jg определяется Z_jg.

Для получения шкальных оценок и границ интервалов можно использовать и метод обращения полученных из наблюдений величин p_jg в Z._g, применяемый при парном сравнении.

Приняв t_i = 0, вычисляют с помощью подобных таблиц границы интервалов, а затем конструируется четвертая матрица, значения оценок которой находятся путем вычитания каждой записи g-ro ряда матрицы Z_ig из полученной оценки t_g. Средняя величина ряда в этой матрице — это шкальная оценка соответствующего признака.