8.4. Непрерывность функции нескольких переменных ìãòó ìã ó
Пусть задана функция нескольких переменных f : A ⊂ Rn → R. Каждая точка a ∈ A являет- ся либопредельной точкой множества A, либоего изолированной точкой. В первом случае функция f может иметь в этой точке предел по множеству A, что приводит к следующемуопределению.
Ò
Определение 8.11. Функцию нескольких переменных f : A ⊂ Rn → R называют непре- рывной в точке a ∈ A, предельной для множества A, если существует предел функции f
ÔÍ-12
ÔÍ-12
при x→A a, равный значению функции в этой точке, т.е. если
lim f (x) = f (a). (8.5)
xA→a
Как оговорено в определении, точка a не только принадлежит множеству A, но и являетсяего предельной точкой, поскольку рассматривается предел функции в точке a по множеству A.
Функцию f : A ⊂ Rn → Rm считают непрерывной в каждой точке a ∈ A, которая является
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
изолированной точкой множества A.
Ò
Используя определение 8.9 предела функции, можно переформулировать определение непре- рывности функции в точке следующим образом. Функция f : A ⊂ Rn → R непрерывна в точкеa ∈ A, если для любойε-окрестности U(f (a), ε) точки f (a) ∈ R существует такая δ-окрест- ность U(a, δ) точки a, что при x ∈ A ∩ U(a, δ) верно соотношение f (x) ∈ U(f (a), ε). Наконец,
можно ввести понятие непрерывности, не используя ни понятие предела, ни понятие окрест- ности. Функция f : A ⊂ Rn → R непрерывна в точке a ∈ A, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что при всех x ∈ A, удовлетворяющих неравенству |x − a| < δ, верно неравенство |f (x) − f (a)| < ε. Другими словами, бесконечно малому приращению аргу-
ÔÍ-12
ÔÍ-12
мента в данной точке соответствуетбесконечно малое приращение функции. Отметим, что эти
формулировки включают в себя и случай изолированной точки множества A.
Функцию f : A ⊂ Rn → R, непрерывную во всех точках множества A, называют непрерыв- ной на этом множестве.
Следующие так называемые локальные свойства непрерывных функций нескольких пере- менных вытекают из свойств 2–6 предела функции нескольких переменных (см. 8.3).
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
1◦. Если функции fi: A ⊂ Rn → R, i = 1, k, непрерывны в некоторой точке a ∈ A, то любая
Ò
их линейная комбинация непрерывна в этой точке.
2◦. Если функции f, g: A ⊂ Rn → R непрерывны в некоторой точке a ∈ A, то их произведе- ние fg, а при g(a) /= 0 и частное f/g непрерывны в этой точке.
3◦. Если функция f : A ⊂ Rn → R непрерывна в точке a ∈ A, то она ограничена в пересече-
нии множества A с некоторой окрестностью точки a.
4◦. Если функция f : A ⊂ Rn → R непрерывна в точке a и f (a) > 0 (f (a) < 0), то существует окрестность точки a, в которой функция f в точках множества A положительна (отрицательна). 5◦. Если функции f, g: A ⊂ Rn → R непрерывны в точке a ∈ A и f (a) < g(a), то существует
ÔÍ-12
ÔÍ-12
окрестность этой точки, в которой в точках множества A выполнено неравенство f (x) < g(x).
Отметим, что в сформулированных свойствах упоминание о множестве A можно опустить, еслиточка a являетсявнутренней точкой множества A.
Для функций нескольких переменных, как и для функций одного переменного, верна следу- ющая теорема о непрерывностисложной функции.
ÔÍ-12
ÔÍ-12
Теорема 8.6. Если функции gi: A ⊂ Rm → R, i = 1, n, непрерывны в точке a ∈ A, (g1(x), g2(x), . . . , gn(x)) ∈ B ⊂ Rn при x ∈ A и функция f : B ⊂ Rn → R непрерывна в точке
b = (b1, b2, . . . , bn), где bi = gi(a), i = 1, n, то сложная функция F (x) = f (g1(x), g2(x), . . . , gn(x)),
x ∈ A, непрерывна в точке a.
... Обозначим точку f (b) через c и фиксируем любую ε-окрестность U(c, ε) ⊂ R этой точки. Из непрерывности функции f в точке b следует, что существует такая δ-окрестность U(b, δ) ⊂ Rn точки b, что f (u) ∈ U(c, ε) при u ∈ B ∩ U(b, δ). Для каждого i = 1, n из непрерывности функции
Ò
δ
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
gi в точке a следует, что для числа ε1 =
√n существует такая δi-окрестность U(a, δi) ⊂ R
m
точки a, что gi(x) ∈ U(bi, ε1) при x ∈ A ∩ U(a, δi). Положим δ0 = min {δ1, δ2, . . . , δn} и выберем
произвольную точку x ∈ A ∩ U(a, δ0). Тогда gi(x) ∈ U(bi, ε1), что равносильно выполнению неравенства |gi(x) − bi| < ε1. Обозначив u = (g1(x), g2(x), . . . , gn(x)), заключаем, что
г
ÔÍ-12
ÔÍ-12
I n /
δ2
|u − b| = I' |gi(x) − bi| <
ε1n =
n = δ,
2 2
n
i=1
т.е. u ∈ U(b, δ). Включениеu ∈ B выполняется в силуусловий теоремы. Следовательно,
u ∈ B ∩ U(b, δ) и F (x) = f (g1(x), g2(x), . . . , gn(x)) = f (u) ∈ U(c, ε). Тем самым доказано, что
для произвольной окрестности U(c, ε) точки c существует такая окрестность U(a, δ0) точки a,
что F (x) ∈ U(c, ε) при x ∈ A∩ U(a, δ0). Согласно определению непрерывности функции в точке, это означает, что сложная функция F непрерывна в точке a. �
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
Пример 8.15. Функция f (x, y) = e−y2/x2определена всюду в R2, кроме точек прямой x = 0.
Ò
В своей области определения эта функция непрерывна каккомпозиция непрерывных функций
e−t и t = y2/x2 (см. теорему 8.6). Функция t = y2/x2 является непрерывной в области x /= 0 как частное двух непрерывных функций (см. свойство 2 непрерывных функций).
В точках прямой x = 0 функция f (x, y) не определена, но, может быть, ее можно доопреде- лить в этих точках так, что она будет непрерывной в R2? Чтобы ответить на вопрос, возможноли такое доопределение, надо рассмотреть предел функции в точках прямой x = 0 по множеству
ÔÍ-12
ÔÍ-12
A = {(x, y) ∈ R2: x /= 0}. Существование предела функции в некоторой точке (x0, y0) необходи-
мо, чтобы вэтой точке было возможно доопределение функции по непрерывности, т.е.
такое доопределение, при котором функция будет непрерывной в точке (x0, y0).
Если y0 /= 0, то функцияy2/x2 являетсябесконечно большой вточке (0, y0), а функция e−y2/x2 имеет предел в этой точке по множеству A, равный нулю. Но в точке (0, 0) пределэтой функции помножеству A не существует. Действительно, рассмотриммножества Ak =
= {(x, y): y = kx, x /= 0}. Нетрудно увидеть, что y2/x2 = k2 при (x, y) ∈ Ak . Следовательно,
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
lim
Ò
(x, y)A→k (0, 0)
f (x, y) = e−k2.
Предел функции f (x, y) в точке (0, 0) по множеству Ak зависит от выбора множества Ak . Значит, в силуследствия 8.1 функцияf (x, y) не имеетпредела вточке (0, 0) (см. также при- мер 8.12).
Итак, функцию f (x, y) нельзя доопределить так, чтобы она было непрерывной в точке (0, 0). Но подобное доопределение возможно в отношении других точек прямой x = 0, поскольку функ- ция
/
ÔÍ-12
ÔÍ-12
f-(x, y) =
(e−y2/x2, x = 0;
0, x = 0,
определена в R2 и непрерывна всюду в R2, кроме точки (0, 0).
Точки, в которых функция нескольких переменных f : A ⊂ Rn → R определена, но не явля- етсянепрерывной, называютточками разрыва этой функции. Напомним, чтоточки, в
ÔÍ-12
ÔÍ-12
которых функция исследуется на непрерывность, относятся кобласти определения этой функ- ции. Точка разрыва функции f : A ⊂ Rn → R должна быть точкой множества A, являющейся
для A предельной, так как в изолированных точках множества A функция f непрерывна всегда
(см. 8.4). К точкам разрыва функции f часто относят и точки, которые являются предельнымиточками A, но самому множеству не принадлежат.
Точки разрыва могут образовывать подмножества в Rn, которые в зависимости от их вида называютлиниями илиповерхностями разрыва функции.
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
Мы не будем определять различные типы точек разрыва, как это делают в случае действи- тельных функций действительного переменного, а ограничимся разбором типичных ситуаций на примерах.
Ò
Пример 8.16. а. Исследуем на непрерывность функцию двух переменных f (x, y) =
= 1/(1 − xy). Эта функция представляет собой частное двух непрерывных в R2 функций двух переменных (числитель — постоянная функция, а знаменатель — функция z(x, y) = 1 − xy).
ÔÍ-12
ÔÍ-12
Поэтому, согласно свойству 2 непрерывных функций (см. 8.4), она непрерывна во всех точках, вкоторых знаменатель отличен от нуля, т.е. при1 − xy /= 0. Множествоточек в R2, которое описывается уравнением1 − xy = 0, является линией разрываэтой функции. В точках этой
линии, являющейся равнобочной гиперболой, функция не определена.
б. Функцияf (x, y) = sgn(xy) определена всюду вR2, причем принимает всего лишь три значения: значение 1 в точках первого и третьего квадрантов плоскости, значение 0 на осях
координат и значение −1 вточках второго и четвертого квадрантов. Точками разрыва этой
функции являются точки на осях координат, а оси координат в данном случае являются лини-
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
ями разрыва функции.
Ò
в. Функциятрех переменных
1
u =
1 − x2 − y2 − z2
определена вне единичной сферы x2 + y2 + z2 = 1 и в точках области определения эта функция непрерывна как частное двух непрерывных функций. Оединичной сфере вэтом случае говорят
ÔÍ-12
как о поверхности разрыва функции u.
ÔÍ-12
г. У функции трех переменных
v = .j
−
1
1
x2 − y2 − z
2
область определения описывается неравенствомx2 + y2 + z2 < 1. Вэтой области функция непрерывна как частное двух непрерывных функций. Вточках единичной сферы и вне ее функция v не определена. Точек разрыва нет.
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
д. Функция двух переменных
Ò
u = ln xy
определена в области xy > 0, т.е. в первой и третьей четвертях без осей координат.
Пример 8.17. Исследуем на непрерывность функцию
( xy , x2 + y2 /= 0;
ÔÍ-12
ÔÍ-12
f (x, y) =
x2 + y2
0, x = y = 0.
При x2 + y2 /= 0 функцияf (x, y) является непрерывной как частное двух непрерывных функций. В точке (0, 0) и ее окрестности функция определена, но не является непрерывной вэтой точке, так какона в нейне имеетпредела (см. пример8.11). #
ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ 19
Предположим, чтофункция нескольких переменных f : Rn → R определена в некоторой
ÔÍ-12
ÔÍ-12
окрестности точки a = (a1, . . . , an). Если функция
g(x1) = f (x1, a2, a3, . . . , an),
которая представляет собой функцию одного действительного переменного x1, непрерывна вточке x1 = a1, то функциюf называютнепрерывной по переменному x1 в точке a.
Непрерывность функции f = f (x1, x2, . . . , xn) по переменному x1 в точке a по определению означает, что существует предел
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
lim
Ò
x1→a1
f (x1, a2, . . . , an) = f (a1, a2, . . . , an),
который можно рассматривать как предел в точке a по множеству
A1 = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn: x2 = a2, . . . , xn = an} .
Аналогично вводят понятие непрерывности функции f (x) в точке a по остальным перемен- ным: поx2, поx3 и т.д., а также по произвольному набору ее аргументов. Например, если
ÔÍ-12
ÔÍ-12
функция двух переменных
g(x1, x2) = f (x1, x2, a3, . . . , an)
непрерывна в точке x1 = a1, x2 = a2, то функцию f (x) n переменных называют непрерывной в точке a по части переменных (по совокупности переменных ) x1, x2. Непре- рывность по части переменных можно рассматривать как существование предела функции вточке a по соответствующему множеству. Например, непрерывность функции f (x1, x2, . . . , xn) по совокупности переменных x1, x2 означает существование предела
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
где
Ò
lim
x−→a
A
12
f (x) = f (a1, a2, . . . , an),
A12 = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn: x3 = a3, . . . , xn = an} .
Отметим, что из непрерывности функции нескольких переменных в точке a следует ее не- прерывность вэтой точке по любому набору переменных, поскольку если выполнено равенство lim f (x) = f (a), то, согласно следствию 8.1, для любого множества A Rn, длякоторого точка
⊂
ÔÍ-12
ÔÍ-12
x→a
a предельная,
lim f (x) = f (a).
xA→a
В то же время, даже если функция непрерывна вточке a по любомунеполному набору переменных, это вовсе не значит, что функция непрерывна в этой точке. Так, функция f (x, y)
из примера 8.11 не является непрерывной в начале координат, но она непрерывна в этой точкепо каждому из переменных, т.е. по x и по y, поскольку f (0, y) ≡ f (x, 0) ≡ 0.
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
Если функция нескольких переменных непрерывна по части своих переменных во всех точкахнекоторой области, то ее называют непрерывной в области по (этой) части переменных (совокупности переменных ).
Ò
Приведем без доказательства свойствафункций нескольких переменных, непрерывных на
компактах.
Теорема 8.7. Пустьфункция нескольких переменных f : K ⊂ Rn → R непрерывна накомпакте K. Тогда:
ÔÍ-12
ÔÍ-12
функция f ограничена на K, т.е. существует такое число M > 0, что |f (x)| < M , x ∈ K;
функция f достигает на компакте K своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют такие точки x∗, x∗ ∈ K, что f (x∗) � f (x) � f (x∗), x ∈ K;
если компакт K — линейно связное множество, то для любого числа µ из отрезка
[f (x∗), f (x∗)] существует точка xµ ∈ K, для которой f (xµ) = µ. #
Ò
Ò
ÌÃÒÓ
ÌÃ Ó
ÌÃ Ó
ÌÃÒÓ
ÔÍ-12
ÔÍ-12
ÔÍ-12
ÔÍ-12