1.1. Проводники во внешнем электростатическом поле. Вывести взаимосвязь между напряженностью E электростатического поля вблизи поверхности заряженного проводника и поверхностной плотностью [сигма] зарядов на его поверхности. Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника будет действовать электростатическое поле, в результате чего они начнут перемещаться. Перемещение зарядов (ток) продолжается до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль. Это происходит в течение очень короткого времени. В самом деле, если бы поле не было равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии. Итак, напряженность поля во всех точках внутри проводника равна нулю:

Отсутствие поля внутри проводника означает, согласно (85.2), что потенциал во всех точках внутри проводника постоянен ( = const), т. е. поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Отсюда же следует, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке его поверхности. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей Е заряды начали бы по поверхности проводника перемещаться, что, в свою очередь, противоречило бы равновесному распределению зарядов.

Если проводнику сообщить некоторый заряд Q, то нескомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника. Это следует непосредственно из теоремы Гаусса (89.3), согласно которой заряд Q, находящийся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном произвольной замкнутой поверхностью, равен

так как во всех точках внутри поверхности D=0.

Найдем взаимосвязь между напряженностью Е поля вблизи поверхности заряжен­ного проводника и поверхностной плотностью  зарядов на его поверхности. Для этого применим теорему Гаусса к бесконечно малому цилиндру с основаниями S, пересекающему границу проводник — диэлектрик. Ось цилиндра ориентирована вдоль вектора Е (рис. 141). Поток вектора электрического смещения через внутреннюю часть цилиндрической поверхности равен нулю, так как внутри проводника Е₁ (а следовательно, и D₁) равен нулю, поэтому поток вектора D сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность определяется только потоком сквозь наружное основание цилиндра. Со­гласно теореме Гаусса (89.3), этот поток (DS) равен сумме зарядов (Q=S), охватываемых поверхностью:DS=S т.е.

                                                            (92.1)

или

                                                      (92.2)

где  — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Таким образом, напряженность электростатического поля у поверхности проводника определяется поверхностной плотностью зарядов. Можно показать, что соот­ношение (92.2) задает напряженность электростатического поля вблизи поверхности проводника любой формы.

1.2. Закон Био-Савара, его физический смысл. Линейный элемент тока. Принцип суперпозиции магнитных полей.

Формулировка

Пусть постоянный ток   течёт по контуру γ, находящемуся в вакууме,   — точка, в которой ищется поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в системе СИ)

Направление   перпендикулярно   и  , то есть перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление  , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора   определяется выражением (в системе СИ)

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

К основным характеристикам элементов цепи относятся их вольт-амперные, вебер-амперные и кулон-вольтные характеристики, описываемые дифференциальными или (и) алгебраическими уравнениями. Если элементы описываются линейными дифференциальными или алгебраическими уравнениями, то они называются линейными

 Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция   в любой точке магнитного поля проводника с током равна векторной сумме магнитных индукций  , созданных в этой точке всеми элементами   проводника с током, т. е.

,        

2.1. Энергия заряженного проводника и конденсатора. Энергия электрического поля

Энергия электростатического поля.

Энергия заряженного плоского конденсатора E_к равна работе A, которая была затрачена при его зарядке, или совершается при его разрядке.

A = CU²/2 = Q²/2С = QU/2 = E_к.

Поскольку напряжение на конденсаторе может быть рассчитано из соотношения:

U = E*d, где E - напряженность поля между обкладками конденсатора, d - расстояние между пластинами конденсатора,

то энергия заряженного конденсатора равна:

E_к = CU²/2 = ₀S/2d*E²*d² = ₀S*d*E²/2 = ₀V*E²/2, где V - объем пространства между обкладками конденсатора.

Энергия заряженного проводника

Как известно, заряд сосредоточивается на поверхности проводника, причем поверхность проводника эквипотенциальна. Разбивая эту поверхность на маленькие участки, каждый из которых имеет заряд Δq, и учитывая, что потенциал в месте расположения каждого из зарядов одинаков, имеем

(6.7)

Так как емкость проводника C=q/φ , то выражение (6.7) может быть также представлено, как

(6.8)

Энергия заряженного конденсатора

Пусть заряд +q находится на обкладке с потенциалом φ₁ а заряд -q на обкладке с потенциалом φ₂. Тогда на основании тех же рассуждений, которые привели к выражению (6.7), получим

(6.9)

где U - разность потенциалов на обкладках конденсатора. Аналогично переходу от (6.7) к (6.8) выражение для энергии конденсатора может быть представлено также в виде

(6.10)

Энергия электрического поля

Выражение для энергии в виде (6.6) можно истолковать так. Потенциальная энергия заряда ρdV равна произведению этого заряда на потенциал в той же точке. Вся энергия поэтому получается интегрированием по всему заряду. Оказывается, однако, что энергию можно выразить также и через величину, характеризующую само электрическое поле, - через напряженность E.

Согласно уравнению Пуассона   . Выразим отсюда ρ и подставим в (6.6)

(6.11)

Распишем подинтегральное выражение следующим образом

(6.12)

Тогда (6.11) перепишется, как

(6.13)

Преобразуем второй интеграл в (6.13) при помощи теоремы Остроградского -Гаусса из объемного в поверхностный

(6.14)

Возьмем поверхность, которая простирается до бесконечности, так что интеграл по объему обращается в интеграл по всему пространству. Пусть выбранная поверхность имеет форму сферы с центром в начале координат и стремящимся к бесконечности радиусом. Потенциал φизменяется с радиусом как 1/R, а grad φ как 1/R². Площадь же поверхности сферы растет как R². Таким образом интеграл по поверхности убывает с ростом радиуса как (1/R)(1/R²)R²=(1/R). Итак, если интегрирование ведется по всему пространству, то поверхностный интеграл обратится в нуль и окончательно получим

(6.15)

Последнее соотношение можно толковать, говоря, что в том месте пространства, где присутствует электрическое поле, состредоточена и энергия, а плотность ее (количество энергии в единице объема) равна

(6.16)

Если пространство заполнено изотропным диэлектриком, то выражение для плотности энергии будет иметь вид

(6.17)

Рассмотрим в качестве примера плоский конденсатор. Его энергия может быть представлена через заряд на обкладках согласно (6.9). Однако можно выразить его энергию и через поле между обкладками. Емкость плоского конденсатора равна

(6.18)

Подставим (6.18) в (6.10) и получим

2.2. Свободные и связанные электрические заряды. Электростатическое поле кнутри однородного диэлектрика. Вывести связь между векторами D и E

При рассмотрении электростатического поля, в случае наличия в нем диэлектриков, нужно различать два рода электрических зарядов: свободные и связанные. Под свободными зарядами мы будем понимать, во-первых, все электрические заряды, которые под влиянием электрического поля могут перемещаться на макроскопические расстояния (электроны в металлах и вакууме, ионы в газах и электролитах и т. п.), и, во-вторых, заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектриков и нарушающие их нейтральность ). Заряды же, входящие в состав нейтральных молекул диэлектриков, равно как и ионы, закрепленные в твердых диэлектриках вблизи определенных положений равновесия, мы будем называть зарядами связанными.

Потенциал ф электростатического поля при наличии в нем диэлектриков равен, очевидно, сумме потенциала (фо, возбуждаемого свободными зарядами, и потенциала (р', возбуждаемого связанными электрическими зарядами в диэлектриках:

Потенциал свободных зарядов определяется формулой (12.11):

где под р и а надо понимать объемную и поверхностную плотность свободных зарядов.

Если однородный и изотропный диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов, то напряженность поля внутри диэлектрика в ε раз меньше, чем напряженность поля сторонних зарядов.

Продемонстрируем справедливость приведенного утверждения на примере плоского конденсатора. Предположим, что пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено однородным и изотропным диэлектриком. Тогда на поверхности диэлектрика, прилегающей к пластине с положительным зарядом, появится индуцированный связанный отрицательный заряд, а на противоположной поверхности диэлектрика – индуцированный связанный положительный заряд. Этот связанный заряд σ' является источником электрического поля с напряженностью

(5.41)

причем, согласно (5.19), σ' = P_n, где P_n – нормальная составляющая вектора поляризованности.

В результате, в силу принципа суперпозиции поле внутри диэлектрика окажется векторной суммой полей, создаваемых сторонним зарядом, находящимся на обкладках конденсатора, и поверхностным связанным зарядом:

E=E₀+E',

причем векторы E₀ и E' коллинеарны и направлены навстречу друг другу. Поэтому модуль вектора напряженности будет равен

(5.42)

Так как диэлектрик предполагается однородным и изотропным, то поляризованность диэлектрика пропорциональна напряженности поля:

P=κ ε ₀E .

Поскольку диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов, то вектор E на границе между проводящей обкладкой конденсатора и прилегающим к ней диэлектриком перпендикулярен границе, т.е.

E=E_n .

Тогда, с учетом того, что σ' = P_n получается

(5.43)

откуда для напряженности поля внутри конденсатора имеем

(5.44)

где ε - диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

3.1. Энергия взаимодействия системы неподвижных электрических зарядов распределенных: дискретным образом, непрерывно по поверхности, непрерывно по объему и непрерывно по прямой

5. Распределение заряда в пространстве может быть дискретным и непрерывным.

   1. При дискретном распределении заряд сконцентрирован в математической точке пространства.

   2. При непрерывном распределении различают линейное, поверхностное и объемное распределение заряда.

• при непрерывном распределении заряда вдоль линии вводится понятие линейной плотности зарядов τ

где dq – заряд малого участка линии длиной dl.

• при непрерывном распределении заряда по некоторой поверхности вводится понятие поверхностной плотности зарядов σ

где dq – заряд малого участка поверхности площадью dS.

• при непрерывном распределении заряда в каком-либо объеме вводится понятие объемной плотности зарядов ρ

где dq – заряд малого участка объема dV.

3.2. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах. Магнитное поле бесконечного соленоида

В математической формулировке для магнитостатики теорема имеет^[2]следующий вид^[1][3]:

Здесь   — вектор магнитной индукции,   — плотность тока; интегрирование слева производится по произвольному замкнутому контуру, справа — по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Данная форма носит название интегральной, поскольку в явном виде содержит интегрирование. Теорема может быть также представлена в дифференциальной форме^[4]:

 Соленоид можно представить в виде системы одинаковых круговых токов с общей прямой осью.

      Бесконечно длинный соленоид симметричен любой, перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно (рис. 2.12), симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, в котором вектор    перпендикулярен плоскости витка, т.е. линии магнитной индукции имеют направление параллельное оси соленоида внутри и вне его.

Рис. 2.12

      Из параллельности вектора    оси соленоида вытекает, что поле как внутри, так и вне соленоида должно быть однородным.

      Возьмём воображаемый прямоугольный контур 1–2–3–4–1 и разместим его в соленоиде, как показано на рисунке 2.13.

   

Рис. 2.13

      Второй и четвёртый интегралы равны нулю, т.к. вектор    перпендикулярен направлению обхода, т.е   .

      Возьмём участок 3–4 – на большом расстоянии от соленоида, где поле стремится к нулю; и пренебрежём третьим интегралом, тогда

где    – магнитная индукция на участке  1–2 – внутри  соленоида,     – магнитная проницаемость вещества.

      Если отрезок 1–2 внутри соленоида, контур охватывает ток:

где n – число витков на единицу длины, I – ток в соленоиде (в проводнике).

      Тогда магнитная индукция внутри соленоида:

,

(2.7.1)

      Вне соленоида:

  и   , т.е.   .

Бесконечно длинный соленоид аналогичен плоскому конденсатору – и тут, и там поле однородно и сосредоточено внутри.

      Произведение nI – называется число ампер витков на метр.

4.1. Свободные и связанные электрические заряды. Электростатическое поле внутри однородного диэлектрика. Вывести связь между векторами D и E

4.2. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах. Магнитное поле тороида

Тороид представляет собой тонкий провод, плотно (виток к витку) намотанный на каркас в форме тора (рис. 2.16).

Рис. 2.16

      Возьмём контур L в виде окружности радиуса r, центр которого совпадает с центром тора радиуса R.

            В силу симметрии, вектор    в каждом токе направлен по касательной к контуру.

            Следовательно,

,

(2.8.1)

где    – длина контура.

      Если контур проходит внутри тороида, он охватывает ток      (n – число витков на единицу длины).

      Тогда, в соответствии с теоремой о циркуляции вектора   , можно записать:

Отсюда следует:

,

(2.8.2)

      Контур вне тороида токов не охватывает, поэтому   .

      Для тороида, где радиус тора намного больше радиуса витка, отношение   , тогда магнитное поле В можно рассчитать по формуле (2.7.1):

                                                                                                      

В тороиде магнитное поле однородно только величине, т.е. по модулю, но направление его в каждой точке различно.

5.1. Электрический диполь и его характеристики. Электрический диполь в однородном и неоднородном электрических полях

Диполь — идеализированная система, служащая для приближенного описания распространения поля. Дипольное приближение основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора и отбрасывании всех членов выше первого порядка. Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае если: 1.Размеры излучающей поле системы малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд. 2.Член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности. 3.В уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет из себя совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.Произведение вектора l, проведённого от отрицательного заряда к положительному, и помноженного на абсолютную величину зарядов называется дипольным моментом:

Потенциал диполя определяется по формуле:

 

Вдали от диполя напряженность его электрического поля E убывает с расстоянием как 1/R³ , то есть быстрее, чем поле точечного заряда (~ 1/ R²). Компоненты напряженности поля E вдоль оси диполя и в перпендикулярном направлении пропорциональны p и в Гаусса системе единиц равны:

где θ – угол между p и радиусом вектором R точки пространства, в которой измеряется поле диполя;полная напряженность

рис.1

Электрическое поле диполя: E – напряженность поля в точке А, находящееся на расстоянии R от центра диполя

Действие внешнего электрического поля на диполь также пропорционально p. Однородное внешнее и электрическое поле E создает вращающий момент M=p E sinα ( α – угол между E и p), стремящийся повернуть диполь так, чтобы его дипольный момент был направлен по полю.  Потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна -(E,p).

рис.2

Электрический диполь в однородном внешнем электрическом поле E. Пара сил –F и +F стремится повернуть диполь в направлении поля

В неоднородном электрическом поле на диполь, кроме вращающего момента, действует также сила, стремящаяся втянуть диполь в область более сильного поля (рис. 3).

 

рис.3

Электрический диполь в неоднородном электрическом поле в случае, когда дипольный момент p направлен по полю. Сила F=F2 -F1 стремится переместить диполь в область большей напряженности внешнего поля

Любая электронейтральная система в некотором приближении может рассматриваться как электрический диполь с моментом

 

, где q_i — заряд i-го элемента, r_i — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики, не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых изучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади , по которой течёт ток . При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину

, где n — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, с которого ток в рамке течёт против часовой стрелки, I - сила тока, S - площадь рамки.

рис.4

Магнитный момент p кругового тока I радиуса а

Аналогию между магнитным диполем и витком с током можно проследить при рассмотрении действия магнитного поля на ток. В однородном магнитном поле на виток с током действует момент сил, стремящийся ориентировать виток так, чтобы его магнитный момент был направлен по полю; в неоднородном магнитном поле такие замкнутые токи втягиваются в область с большей напряженностью поля.

Векторный потенциал, создаваемый магнитным полем диполя равен:

 

Магнитная индукция создаваемая магнитным диполем определяется по формуле:

5.2. Работа электростатического поля при перемещении зарядов. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

В случае, если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль какой-либо траектории (рис. 1) двигается другой точечный заряд Q₀, то сила, которая приложена к заряду, совершает некоторую работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна    Так как dl/cosα=dr, то    Работа при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2   (1)  от траектории перемещения не зависит, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Значит, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными  Из формулы (1) видно, что работа, которая совершается при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по произвольному замкнутому пути L, равна нулю, т.е.   (2)  Если в качестве заряда, которого перемещают в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Еdl = E_ldl, где E_l = Ecosα — проекция вектора Е на направление элементарного переме¬щения. Тогда формулу (2) можно представить в виде   (3)  Интеграл   называется циркуляцией вектора напряженности. Значит, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, которое обладает свойством (3), называетсяпотенциальным. Из равенства нулю циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они обязательно начинаются и кончаются на зарядах (на положительных или отрицательных) или же идут в бесконечность.  Формула (3) верна только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что с случае поля движущихся зарядов условие (3) не верно (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля). 

6.1. Теорема Гаусса для вектора поляризованности P. Используя формулу, получит формулу. Указать границы использования этих формул

Пусть q'-связанные заряды, q- сторонние заряды и пусть q=0, тогда 1) с одной стороны: 2) с другой стороны: Пусть диэлектрик изотропный, а поле  - не слишком велико, тогда заменяем   на  , где k- диэлектрическая восприимчивость, и переносим минус в другую сторону:

6.2. Электрическое поле на границе раздела диэлектриков

На границе двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями   , и   при наличии внешнего поля возникают поляризационные заряды разного знака с различными поверхностными плотностями зарядов   и   (рис.14.7).

Дополнительное поле, создаваемое этими зарядами, перпендикулярно поверхности, поэтому нормальные составляющие полей   , и   в обеих средах у границы раздела различны, а касательный составляющие одинаковы, т.е.

(14.11)

Векторы электростатического смещения в обеих средах соответственно равны

и

(14.12)

Аналогично рассмотренному выше случаю границы диэлектрик - вакуум нормальная составляющая вектора  на границе двух диэлектриков   а отсюда следует, что

Из этого выражения следует, что в случае   и линии вектора   при переходе через границу раздела преломляются, отклоняясь от перпендикуляра к границе раздела. Из (14.11) и (14.12) следует, что

При   и 

При переходе через границу раздела из диэлектрика с меньшим значением   в диэлектрик с большим значением   , нормальная составляющая вектора   остается неизменной, а касательная увеличивается, так что линии вектора   преломляются под таким же углом как и линии напряженности поля (рис. 14.8).

Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектриков изменяется не только вектор напряженности электрического поля   , но и вектор   . Однако поток вектора   через произвольную площадку   на границе раздела, равный по определению   , с обеих сторон поверхности на основании   остается неизменным. Следовательно, число линий вектора электрического смещения, переходящих через границу, не меняется. Поэтому теорема Гаусса остается справедливой для вектора   в самом общем случае при наличии в поле диэлектриков любой формы и размеров.

7.1. Уравнение Пуассона. Физическое содержание этого уравнения

Уравнение Пуассона является одним из краеугольных камней электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

где   — электростатический потенциал (в вольтах),   — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а   — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

В единицах системы СГС:

В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

7.2. Линейный элемент тока. Закон Био-Савара. Принцип суперпозиции магнитных полей

8.1. Разность потенциалов и потенциал электростатического поля. Вывести формулу для потенциала поля точечного заряда. Эквипотенциальные поверхности и их свойства