ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

А.Н. Канатников, а.П. Крищенко ò

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Ò

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

ÔÍ-12

Конспект лекций

Учебное пособие по дисциплине

ÔÍ-12

ÔÍ-12

«Линейная алгебра и функции нескольких переменных» для студентов всех специальностей

Ò

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

Москва

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Лекция 8

ÔÍ-12

ÔÍ-12

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

Метрика и окрестности в Rⁿ. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества в

Ò

Rⁿ. Граница множества. Понятие области в Rⁿ. Скалярная функция нескольких переменных

(ФНП) как отображение F : Ω → R, Ω ∈ Rⁿ. Линии и поверхности уровня. Предел ФНП.

Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве.

Свойства ФНП, непрерывных на множестве (без док-ва).

1. Открытые и замкнутые множества

   ÔÍ-12

   

   ÔÍ-12

   

Множество упорядоченных наборов (x₁, x₂, . . . , x_n) (кортежей) изn действительных чи- селx₁, x₂, . . . , x_n естьn-ядекартова степеньRⁿ множества R действительных чисел. Такие

наборы уже использовались как элементы линейного арифметического пространства, которое также принято обозначать через Rⁿ. В этой книге упорядоченные наборы действительных чи-

сел будут активно использоваться, но в несколько ином контексте. В рамках линейной алгебры элементы множества Rⁿ часто называют арифметическими векторами и используют в линейных операциях. Мы не только будем рассматривать их как объекты линейных операций, но и оценивать степень их близости, характеризуя еерасстоянием в Rⁿ. Втаком контекстеэлементыRⁿ удобнее называтьне векторами, а точками. Это соответствует традиции, согласнокоторой числа, т.е. элементы числовой оси, также называют точками. В этой книге элементы линейного пространства Rⁿ мы в зависимости от ситуации называем или арифметическими век- торами, или точками: первый термин связан с операциями линейного пространства, второй — с топологическими аспектами в Rⁿ. Как и в случае одного переменного, элементы Rⁿ будем

Ò

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃ Ó

обозначать малыми буквами латинского алфавита: x, y, a, b, . . . Отэтого соглашения мы внекоторых случаях будем отступать и обозначать точки «в стиле аналитической геометрии»как P , Q, . . . , отражая тем самым связь с точками пространства или плоскости.

Для элемента x = (x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ Rⁿ числа x₁, x₂, . . . , x_n будем называть координата-

ми точки x в Rⁿ. Это соглашение отражает аналогию с двумерным и трехмерным случаями: элемент (x₁, x₂, x₃) ∈ R³ можно рассматривать как набор декартовых (аффинных) координат

точки в пространстве, если в нем зафиксирована некоторая декартова (аффинная) система коор-

динат. Расстоянием ρ(x, y) между точками x = (x₁, x₂, . . . , x_n) и y = (y₁, y₂, . . . , y_n) назовем число

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

ρ(x, y) = ^.j(x₁ − y₁)² + . . . + (x_n − y_n)². (8.1)

Ò

Вспомним, что Rⁿ — это евклидово арифметическое пространство со скалярным произведением

(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + . . . + x_ny_n,

где x = (x₁, . . . , x_n), y = (y₁, . . . , y_n). В евклидовом пространстве можно ввести евклидову норму

ÔÍ-12

ÔÍ-12

|x| = ^.j(x, x)

и в соответствии с этой нормой расстояние

ρ(x, y) = |x − y|,

которое совпадает с расстоянием, введенным согласноформуле (8.1).

3

Обозначим через a произвольную точку из Rⁿ, и пусть ε — положительное число.

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Определение 8.1. МножествоU(a, ε) тех точек изRⁿ, расстояние откоторых до точки

a ∈ Rⁿ меньше ε, ε > 0, т.е. множество

U(a, ε) = {x ∈ Rⁿ: ρ(x, a) < ε} ,

называют ε-окрестностью точки a, а множество

U(a, ε) = U(a, ε) \ {a} = {x ∈ Rⁿ: 0 < ρ(x, a) < ε} —

◦

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

проколотой ε-окрестностью точки a.

Ò

Проколотая ε-окрестностьточки a состоит извсех точек ееε-окрестности, кроме самойточки a.

В случае n = 1 ε-окрестность U(a, ε) точки a ∈ R представляет собой интервал (a − ε, a + ε)

с серединой в точке a, имеющий длину 2ε (рис. 8.1, а). Если n = 2, то ε-окрестность U(a, ε) точки a ∈ R² состоит източек плоскости, которые лежат внутри окружности радиусаε с центром вточке a (рис. 8.1, б). Еслиже n = 3, тоε-окрестностьU(a, ε) точки a состоит из точек,

ÔÍ-12

ÔÍ-12

которые расположены внутри сферы радиуса ε с центром в точке a (рис. 8.1, в). В общем случаемножество точек x ∈ Rⁿ⁺¹, длякоторых ρ(x, a) = ε, называютn-мерной сферой радиусаε с центром вточке a, так чтоможно сказать так: ε-окрестностьточки a ∈ Rⁿ — это

открытый n-мерный шар радиуса ε с центром в точке a, т.е. множество точек, лежащих внутри (n − 1)-мерной сферы радиуса ε с центром в точке a.

x₃

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

x₂

a

Ò

a _O

x₂

_a ^{O x}₁ x₁

а б в

Рис. 8.1

Отметим свойство вложенности ε-окрестностей одной и той же точки.

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Теорема 8.1. Для любой точки a ∈ Rⁿ при ε₁ � ε₂ ее ε₁-окрестность содержится в ее

ε₂-окрестности.

... Пустьx — произвольнаяточка изε₁-окрестностиU(a, ε₁) точки a. Согласно определению

8.1, расстояние между точками x и a удовлетворяет неравенству ρ(x, a) < ε₁. Так как ε₁ �

� ε₂, то иρ(x, a) < ε₂. Значит, согласноопределению ε₂-окрестности, точка x принадлежит

ε₂-окрестности U(a, ε₂) точки a. Итак, доказано, что при ε₁ � ε₂ любая точка ε₁-окрестности точки a принадлежит ε₂-окрестности точки a: U(a, ε₁) ⊂ U(a, ε₂). �

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

Определение 8.2. Точку a множества A ⊂ Rⁿ называют внутренней точкой это- го множества, если существует ε-окрестность U(a, ε) точки a, целиком содержащаяся в A:

Ò

U(a, ε) ⊂ A. Множествовсех внутреннихточек A называютвнутренностью множества

A и обозначаютInt A. Если каждаяточка множества A являетсяего внутреннейточкой, то

само множество A называютоткрытым множеством.

Замечание 8.1. Пустоемножество поопределению считают открытым.

ÔÍ-12

ÔÍ-12

На рис. 8.2 множество A на плоскости ограничено сплошной и штриховой линиями. Подра- зумевается, что точки сплошной линии принадлежат множеству A, а штриховой — нет. ТочкаP является внутренней точкой множества A, а точки лежащие на сплошной линии, напримерточка C, — нет. Это значит, что множество A не является открытым, так как содержит точки, не являющиеся для A внутренними.

Рис. 8.2

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Пример 8.1. Простейшими открытыми множествами вRⁿ являютсяε-окрестности то- чек. Действительно, рассмотрим произвольную точку a ∈ Rⁿ и ее ε-окрестность U(a, ε). Еслиx ∈ U(a, ε), то поопределению 8.1 имеемρ(x, a) < ε. Выберемположительное числоε₁ = ε − ρ(x, a). Еслиточка y принадлежитε₁-окрестностиU(x, ε₁)

Ò

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

точки x, то ρ(y, x) < ε₁. Согласно неравенству треугольника,

ρ(y, a) � ρ(y, x) + ρ(x, a) < ε₁ + ρ(x, a) = ε.

Рис. 8.3

ÔÍ-12

Значит, точка y принадлежит ε-окрестности U(a, ε) точки a. Посколь- куточка y ∈ U(x, ε₁) может быть выбрана произвольно, заключаем, чтоU(x, ε₁) ⊂ U(a, ε).

Итак, любая точка x ∈ U(a, ε) имеет ε₁-окрестность U(x, ε₁), цели-

ÔÍ-12

ком попадающую в U(a, ε). Это означает, что точка x внутренняя для

множества U(a, ε), которое, следовательно, является открытым (имен-

но поэтому ε-окрестности точек в Rⁿ называют открытыми n-мерны-

ми шарами). На рис. 8.3 приведена геометрическая иллюстрация доказательства при n = 2.

Пример 8.2. Интервал(x₁, x₂) числовой прямой можно рассматривать как ε-окрестность

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

точки a = (x₁ + x₂)/2 ∈ R, являющейся серединой этого интервала, при этом ε = (x₂ − x₁)/2. В соответствии с примером 8.1 интервал — открытое множество. #

Ò

Свойство множеств быть открытыми может сохраняться при их объединении и пересечении.

Теорема 8.2. Пересечениеконечного числа открытыхмножеств — открытое множество.

Объединение любого числа открытых множеств — открытое множество.

... Докажем первое утверждение. Пусть множества U_i, i = 1, n, открыты и

ÔÍ-12

ÔÍ-12

n

U = ⁿ U_i.

i=1

Если множество U пустое, тооно открыто поопределению. Для непустогомножества U

рассмотрим произвольную точку a ∈ U . Согласно определению пересечения множеств, онапринадлежиткаждому измножеств U_i, i = 1, n. Так как этимножества открыты, то по опре-

делению 8.2 для каждого множества U_i существует такое число ε_i > 0, что ε_i-окрестность точки a содержится в U_i. Положим ε = min{ε₁, . . . , ε_n}. Тогда при всех i = 1, n выполнены

Ò

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

неравенства ε � ε_i. Согласно свойству вложенности ε-окрестностей (см. теорему 8.1), имеем

U(a, ε) ⊂ U(a, ε_i) ⊂ U_i, i = 1, n. Поэтому ε-окрестность U(a, ε) содержится и в пересечении всех

множеств U_i, т.е. в множестве U , а это по определению 8.2 означает, что a — внутренняя точкадля множества U . Поскольку в качестве точки a может быть выбрана любая точка множестваU , это множество открытое.

Для доказательства второго утверждения рассмотрим множество

ÔÍ-12

ÔÍ-12

V = V_i,

i∈I

где множества V_i ⊂ Rⁿ, i ∈ I, открытые, аI — некоторое множество индексов. В случае пу- стого множества V утверждение очевидно, и мы будем считать, что V не пусто. Если точка a

принадлежит множеству V , то по определению операции объединения множеств точка a при- надлежитмножеству V_i хотябы дляодного значенияиндекса i = k. Так какV_k — открытое множество, то существует ε-окрестность U(a, ε) точки a, содержащаяся в V_k . Следовательно, эта окрестность содержится и в V . Но это значит, что a — внутренняя точка V , а так как онаможет быть выбрана в V произвольно, множество V открытое. �

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Определение 8.3. Окрестностью точки a ∈ Rⁿ называют любое открытое множество

U в Rⁿ, включающее в себя эту точку. При этом множество U \ {a} (т.е. окрестность точки, из

которой удалена саматочка) называютпроколотой окрестностью точки a.

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

Как следует из примера 8.1, ε-окрестность точки является ее окрестностью. Таким образом, понятие окрестности, введенное определением 8.3, обобщает понятие ε-окрестности. С этойточки зрения ε-окрестность есть окрестность стандартного (или канонического) вида. Опреде- ление 8.3 фактически означает, что открытое множество является окрестностью каждой своейточки.

Ò

Определение 8.4. Точку a ∈ Rⁿ называютграничной точкой множества A ⊂ Rⁿ, если любаяε-окрестностьточки a содержит какточки, принадлежащиемножеству A, так и точки, не принадлежащие этому множеству. Множество всех граничных точек множества A называют

ÔÍ-12

ÔÍ-12

его границей и обозначают ∂A (или Fr A).

Пример 8.3. Начисловой осиR полуинтервалA = [x₁, x₂) ∈ R имеет границу∂A из двухточек x₁ иx₂. Заметим, чтоточка x₁ принадлежитA, аточка x₂ — нет. На плоскости границей замкнутого круга

^/(x₁, x₂): (x₁ − a₁)² + (x₂ − a₂)² � ε²¹

радиуса ε с центром в точке a = (a₁, a₂) является окружность

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

(x₁ − a₁)² + (x₂ − a₂)² = ε².

Ò

В пространстве границей замкнутого шара

^/(x₁, x₂, x₃): (x₁ − a₁)² + (x₂ − a₂)² + (x₃ − a₃)² � ε²¹

радиуса ε с центром в точке (a₁, a₂, a₃) является сфера

ÔÍ-12

ÔÍ-12

(x₁ − a₁)² + (x₂ − a₂)² + (x₃ − a₃)² = ε².

В Rⁿ границейзамкнутого n-мерного шара

{x ∈ Rⁿ: ρ(x, a) � ε}

является множество

ÌÃ Ó

т.е. (n−1)-мерная сфера.

Ò

{x ∈ Rⁿ: ρ(x, a) = ε} ,

ÌÃÒÓ

Определение 8.5. МножествоA ⊂ Rⁿ называютограниченным множеством, если существует такое положительное число r, что r-окрестность точки 0 = (0, . . . , 0) содержит

множество A.

Поскольку r-окрестность точки 0 ∈ Rⁿ описывается неравенством ρ(x, 0) = |x| < r, условие ограниченности множества A равносильно выполнению неравенства |x| < r, которое при неко- тором r > 0 верно для всех x ∈ A. Отметим, что это неравенство можно заменить нестрогим

ÔÍ-12

ÔÍ-12

неравенством |x| � r, так как из этого нестрогого неравенства следует, что |x| < 2r = r^l.

Определение 8.6. Множество, которое содержит все свои граничные точки (свою границу), называютзамкнутым множеством. Замкнутое ограниченноемножество вRⁿ называюткомпактным множеством, или компактом.

Замкнутый круг и окружность на плоскости, замкнутый шар и сфера в пространстве явля- ются замкнутыми и даже компактными множествами. Множество A, изображенное на рис. 8.2, не является ни открытым, ни замкнутым, так как его граница, обозначенная сплошной и штри- ховой линиями, содержится в A лишь частично.

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Замечание 8.2. Пустоемножество считают поопределению замкнутым. Таким образом, пустое множество одновременно и открыто, и замкнуто. #

Точку b ∈ Rⁿ называютвнешней точкой множества A ⊂

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

⊂ Rⁿ, если существует такаяε-окрестностьэтой точки, которая не

пересекается с множеством A (рис. 8.4). Множествовсех внешних

Ò

точек множества A называют внешностью множества A.

Если точка b ∈ Rⁿ не принадлежитмножеству A ⊂ Rⁿ, то суще- ствуют две возможности: а) любая ε-окрестность точки b содержит

Рис. 8.4

точки множества A и, следовательно, точка b является граничнойточкой множества A; б) некоторая ε-окрестностьточки b не пересе-

кается с A и, следовательно, точка b является внешней точкой множества A.

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Любое отображение ϕ: T → Rⁿ промежутка T числовой оси R в Rⁿ можно записать в виде

т

ϕ(t) = (ϕ₁(t) ϕ₂(t) . . . ϕ_n(t)) ,

где ϕ_i(t), i = 1, n, — функции одного действительного переменного t, определенные на проме-

жутке T . Если все эти функции непрерывны на T , то отображение ϕ будем называть путем вRⁿ, а образϕ(T ) этого отображения— непрерывной кривой в Rⁿ. ЕслиT = [a, b] — отрезок, тоточку ϕ(a) будем называтьначалом пути ϕ, аточку ϕ(b) — концом пути ϕ. В трехмерном случае (n = 3) отображение ϕ(t) можно интерпретировать как закон движения материальной точки, если аргумент t рассматривать в качестве времени. Это объясняет термин

Ò

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

«путь», данный отображению ϕ.

Пример 8.4. Отображение ϕ: (−∞, +∞) → R³ вида

x = ϕ₁(t) = cos t, y = ϕ₂(t) = sin t, z = ϕ₃(t) = t

ÔÍ-12

ÔÍ-12

задает непрерывную кривую в R³, представляющую собой винтовую линию (рис. 8.5).

Рис. 8.5

Ò

ÌÃ Ó

ÌÃÒÓ

Определение 8.7. Множество A ⊆ Rⁿ, любые две точки которого можно соединить непре- ^{рывной кривой, целиком лежащей в этом множестве, называют линейно связным. Открытое}

ÔÍ-12

ÔÍ-12

линейно связное множество называют областью.

Следующие множества являются областями:

• любая ε-окрестность U(a, ε) точки a ∈ Rⁿ;

• проколотая ε-окрестность ◦

a, ε) точки a ∈ Rⁿ;

U(

– (открытое) кольцо в R² с центром в точке (a₁, a₂) и радиусами r и R, которое можноописать неравенствами

ÔÍ-12

ÔÍ-12

– множество

r² < (x₁ − a₁)² + (x₂ − a₂)² < R², (x₁, x₂) ∈ R²;

^/(x₁, x₂) ∈ R²: r < |x₁ − a₁| + |x₂ − a₂| < R¹ ,

где (a₁, a₂) ∈ R², 0 < r < R.

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

Рассмотрим последовательность {a_k} элементов множества Rⁿ (или просто последо- вательность в Rⁿ). Пусть существует такая точка a ∈ Rⁿ, что для любой ее ε-окрест- ности U(a, ε) можно указать такой номер N ∈ N, что для любого k > N верно соотношениеa_k ∈ U(a, ε). Тогда{a_k} называютсходящейся последовательностью в Rⁿ, аточку a — пределом последовательности {a_k} в Rⁿ. Если указаннойточки a не существует, топоследовательность {a_k} называютрасходящейся последовательностью в Rⁿ.

Ò

Для предела последовательности в Rⁿ сохраняются основные свойства числовых последова- тельностей, которые можно рассматривать как частный случай последовательностей в Rⁿ приn = 1. Например, можно показать (по-существу, повторив доказательство для одномерного слу-

ÔÍ-12

ÔÍ-12

чая) единственностьпредела последовательности вRⁿ. Так какRⁿ есть линейное пространство, элементыпоследовательностей вRⁿ, а значит, и самипоследовательности, можно складывать, вычитать и умножать на действительные числа. Как и в одномерном случае, для сходящихся

последовательностей {a_k} и{b_k} можно утверждать, что

lim (a_k ± b_k ) = lim a_k ± lim b_k,

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

k→∞

k→∞

k→∞

lim (αa_k ) = α lim a_k,

Ò

k→∞

k→∞

причем существование пределов в равенствах слева вытекает из существования пределовсправа.

Для последовательностей вRⁿ веренкритерий Коши. Согласноэтому критерию, после-

довательность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной последо- вательностью. В данном случае последовательность {a_k} в Rⁿ называют фундаментальной, если для любого числа ε > 0 можно указать такой номер N ∈ N, что для любых k > N и m > N выполняется неравенство |a_k − a_m| < ε. Нетрудно увидеть, что данное определение дословно

ÔÍ-12

ÔÍ-12

повторяет определение фундаментальной числовой последовательности.