4. Потенциал электростатического поля. Циркуляция напряженности электрического поля. Работа перемещения заряда в электрическом поле. Энергия системы электрических зарядов.

На заряд, помещенный в эл. поле действует сила, следовательно, его перемещение сопровождается работой:

Если работа совершается силами поля, то dA>0

Если внешними силами, то dA<0

Если перемещение заряда конечно

Если работа совершается внешними силами

Эл. поле потенциально. Работа по перемещению заряда не зависит от пути, по которому он перемещается, а определяется только конечным и начальным значениями.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил обладает потенциальной энергией, расходуемой на совершение работы силами

Cледовательно, потенциальная энергия в данной точке поля зависит от величины пробного заряда, переносимого в данном поле.

Отношение W_p к величине зависит только от его местоположения, значит данное отношение может служить энергетической характеристикой э л. поля.

Из равенства следует, поля – физическая величина, равная отношению работы, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом к величине этого заряда при удалении его из этой точки на бесконечность.

Потенциал- величина скалярная.

Потенциал суммарного эл. поля есть алгебраическая сумма потенциалов, всех налагаемых полей.

Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути LТак как работа сил электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (работа сил потенциального поля), следовательно циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю.

5. Примеры расчета потенциала электрического поля распределенных зарядов.

• Потенциал электрического поля на оси равномерно заряженного кольца

Чтобы найти потенциал в точке А, надо применить принцип суперпозиции полей. Разобьем диск на элементарные кольца толщиной dr. Площадь кольца радиуса r равна 2rdr, а заряд кольца — 2rdr. Потенциал поля кольца равен сумме потенциалов, созданных всеми его точечными элементами. Так как последние равноудалены от точки А, то, заменив заряд кольца точечным зарядом той же величины, удаленным на расстояние  от точки А, найдем  потенциал кольца:

• Потенциал электрического поля на оси равномерно заряженного диска

Найдем для примера потенциал электрического поля, создаваемого на оси диска радиусом R, равномерно заряженного с поверхностной плотностью заряда s (рис. 1.28).

Рис. 1.28. Вычисление потенциала на оси заряженного диска

Выделим на диске кольцо радиусом s и шириной ds (заштриховано на рис.). Площадь кольца равна 2psds и потому на нем сосредоточен заряд

Поскольку все элементы кольца находятся на одинаковом расстоянии

от точки наблюдения А, то потенциал dj, создаваемый кольцом в точке А, дается все той же формулой (10.30):

Полный же потенциал поля, создаваемый всем диском в точке A, равен сумме потенциалов dj от всех возможных колец с радиусами s, где 0<s<R

(1.44)

В пределе больших расстояний от центра диска z>>R имеем разложение

и формула для потенциала переходит в

где мы ввели полный заряд диска

• Потенциал электрического поля равномерно заряженной полусферы

Найдем потенциал равномерно заряженной сферы. Чтобы найти потенциал полусферы, требуется радиус, используемый в формулах, делить на 2.

Пусть дан шар радиусом R и ему сообщен заряд Q, равномерно распределенный по объему. Вследствие симметрии поле направлено по радиусам шара. Вне шара (r>R) оно совпадает с полем точечного заряда. Проведем мысленно сферу радиусом r<R внутри шара. По теореме Остроградского-Гаусса напряженность поля на поверхности сферы дается выражением

где q(r) - заряд внутри сферы. Объемная плотность r заряда равна отношению полного заряда Q к объему шара

Заряд q(r) находим как произведение плотности заряда на объем, ограниченный воображаемой сферой

Подставляя q(r) в выражение E(r), находим поле на расстоянии r<R от центра шара. В итоге получаем следующее выражение для напряженности поля равномерно заряженного шара