Основные понятия:

Интерполяция - способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. По определению интерполяция означает построение функции f(x), аппроксимирующей зависимость y(x), в промежуточных точках (между xi) Поэтому интерполяцию ещё по-другому называют аппроксимацией.

Аппроксимация - метод состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

Сплайн - функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом.

Задача интерполяции — найти данные в окрестности узловых точек. Для этого используются подходящие функции, значения которых в узловых точках совпадают с координатами этих точек. Например, при линейной интерполяции зависимости у(х) узловые точки соединяются друг с другом отрезками прямых и считается, что искомые промежуточные точки расположены на этих отрезках. Для повышения точности интерполяции применяют параболы (квадратичная интерполяция) или полиномы более высокой степени (полиномиальная интерполяция). Для обработки данных MathCAD использует различные функции интерполяции и аппроксимации данных.

Использованные функции:

cspline – генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках (кубический сплайн).

pspline – генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках (квадратичный сплайн).

lspline – генерирует кривую сплайна, которая приближается к прямой линии в граничных точкаx (линейный сплайн).

interp(Vk,Vx,Vy,x) – возвращает интерполируемое значение y, соответствующее x.

Vk – вектор вторых производных в рассматриваемых точках.

linterp(Vx,Vy,x) – возвращает оценку значения в точке x, вычисленную методом линейной интерполяции на основе значений из векторов x и y;

Vx – вещественный вектор, элементы которого должны соответствовать значениям x.

Vy – вещественный вектор одного размера с Vх, элементы которого соответствуют значениямy.

Задаем значения векторов Vx и Vy:

Находим коэффициенты кубического сплайна при помощи функций cspline(вектор значений коэффициентов кубического сплайна), pspline(вектор значений коэффициентов квадратичного сплайна), lspline(вектор значений коэффициентов линейного сплайна):

Интерполяция исходных данныхФункция interp(Vk,Vx,Vy,x) возвращает значение f(х) для заданных векторов Vk, Vx, Vy и заданного значения x:

Для наглядности проведём линейную интерполяцию векторов и получим ломаную кривую.

Построим графики:

Сделаем предположение, что множество значений функции является достаточным для описания функции, тогда функция примет вид:

Где:

Находим значения интерполяций функции в точке, для которой требуется найти погрешность интерполяции:

Вывод:Наименьшую погрешность интерполяции дает функция lspline(Vx, Vy).

Задача № 3

Задание. Решить задачу оптимального распределения неоднородных ресурсов.

На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабри­катов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.

Таблица 1.21

Используемые ресурсы, аi	Изготавливаемые изделия					Наличие ресурсов, аi
	И1	И2	И3	И4
Песок	9	5	2	9	18
Щебень	10	8	3	5	15
Цемент	9	9	1	8	20
Прибыль, Пj	40	60	20	25

1.Зададим начальные условия:

2.Зададим функцию прибыли:

3.Зададим ограничение на количество изделий, т.к. оно не может быть отрицательным:

4.Зададим ограничение на используемые ресурсы:

5.Составим матрицу и при помощи функции Maximizeвычислим наибольшую прибыль:

Решим данную задачу симплекс-методом:

Составим таблицу, поменяв значение прибыли на противоположенные знаки где x5,x6,x7 базисные переменные.

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	Свободные члены
x5	9	9	1	8	0	0	1	20
x6	9	5	2	9	1	0	0	18
x7	10	8	3	5	0	1	0	15
f	-40	-60	-20	-25	0	0	0	0

Для определения ведущего элемента находим наибольшее значение по модулю в последней строке, находим минимальное отрицательное отношение элементов свободного столбца к элементам ведущего столбца,на пересечении ведущей строки и ведущего столбца находится ведущий элемент.

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	Свободные члены
x5	9	9	1	8	0	0	1	20
x6	9	5	2	9	1	0	0	18
x7	10	8	3	5	0	1	0	15
f	-40	-60	-20	-25	0	0	0	0

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	Свободные члены
x5	-9/4	0	-19/8	19/8	0	-9/8	1	25/8
x6	11/4	0	1/8	47/8	1	-5/8	0	69/8
X2	5/4	1	3/8	5/8	0	1/8	0	15/8
f	35	0	5/2	25/2	0	15/2	0	225/2

Оптимальное решение:

x1 = 0, x2 = 15/8, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 25/8, x6 = 69/8, x7 = 0

Оптимальное значение:

f (x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=225/2=112.5

Ответ:112,5