9. Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы

Больцано-Коши и Вейерштрасса (без доказательства).

1) Определение односторонней непрерывности.

В определении непрерывности функции в точке х0 требуется существование и равенство. С применением односторонних пределов определяются понятия непрерывности функции в точке слева и справа:

Опр.. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 слева, если .

Опр. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 справа, если .

Опр. Если одно из этих условий не выполнено, то функция f(x) имеет в точке х0 разрыв, соответственно, слева или справа.

 Если функция определена на отрезке [a,b], то в левом конце отрезка х0= a можно говорить только о непрерывности справа, в правом конце (х0= b) - о непрерывности слева. Для внутренней точки отрезка функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа

2) Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

3) Теорема Больцано — Коши

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть такжеи без ограничения общности предположим, чтоТогда для любогосуществуеттакое, что

Теорема Вейерштрасса

Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней грани. Несмотря на простоту доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей, или хотя бы доказательства их существования.

10. Производная функция в точке. Геометрическая и механическая интерпретация.

1) Определение. Производной функции называетсяпредел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

2) Геометрическая интерпретация

Обратимся к рисунку 1, на котором представлен фрагмент графика функции  .

Рис. 1. Секущая  AB  образует угол  β  с положительным направлением оси  0x. Касательная к графику функции проведена в точке  A.

      Угловой коэффициент секущей  AB  равен средней скорости изменения функции  на промежутке  [x, x + ∆x]:

(5)

Предельным положением секущей  AB  при перемещении точки  B  к точке  A  по дуге кривой  является касательная к графику в точкеA. Поэтому угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей при  ∆x → 0:

(6)

Рис. 2. Касательная является предельным положением секущей  AB  при перемещении точки  B  к точке  A.

      Таким образом, производная  в точкеx  равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции  в этой точке с положительным направлением оси  0x.

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +   точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ + ) x ( t₀ ) = , а еёсредняя скорость равна:  v_a =  . При  0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).