- •1. Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел в бесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела.
- •2. Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке.
- •3. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
- •3) Классификация точек разрыва функции
- •4. Предел функции в точке. Единственность предела.
- •5. Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых.
- •6. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
- •7. Теорема о предельном переходе под знаком неравенства. Теорема о сжатой
- •8. Теорема о сохранении знака функции. Теорема о связи функции, имеющей
- •9. Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы
- •10. Производная функция в точке. Геометрическая и механическая интерпретация.
- •11. Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие
- •12. Производная функции в точке. Правила дифференцирования суммы,
- •13. Теорема Ферма.
- •14. Теорема Ролля
- •15. Теорема Лагранжа
- •16. Теорема Коши
- •17. Правило Лопиталя
- •18. Экстремумы функции одной переменной. Необходимое условие экстремума.
- •19. Экстремумы функции одной переменной. Достаточное условие экстремума.
- •20. Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости
- •21. Точки перегиба. Необходимое условие существования перегиба. Достаточное
- •22. Понятие о многочлене Тейлора. Формула Тейлора для функции одной переменной (без доказательства). Формула Маклорена для функций ,,.
3. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
1) Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0).
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:
|
f(x) = f(x0), |
(1) |
т.е.
|
O( f(x0) ) O(x0) : x O(x0) f(x) O( f(x0) ) . |
|
Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:
|
f(x) = f (
x ), |
|
т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.
Пусть Δx = x − x0 — приращение аргумента, Δy = f(x) − f(x0 ) — соответствующее приращение функции.
Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке
Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда
|
Δy = 0. |
(2) |
Замечание. Условие (2) можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.
Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [x0, x0 + δ ).
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x0, если существует односторонний предел
|
f(x) = f(x0). |
|
Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x0 − δ, x0].
Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если существует односторонний предел
|
f(x) = f(x0).
|
2) Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.
| ||
Непрерывна при x = a. |
|
Имеет разрыв при x = a. |
| ||
Непрерывна при x = a. |
|
Имеет разрыв при x = a. |
Рисунок 1. |
3) Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
Существуют левосторонний предел и правосторонний предел;
Эти односторонние пределы конечны.
При этом возможно следующие два случая:
Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределовназывается скачком функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.