28.Определение выпуклости функции. Признак выпуклости функции (без док). Точки перегиба.
Говорят, что график функции f(x)
на данном промежутке 
обращен выпуклостью вверх (вниз) если
любая точка графика функции лежит ниже
(выше) соответствующей точки любой
касательной, проведенной к графику
функции на этом промежутке (кроме точки
касания).
Признаки - Если в каждой точке
промежутка 
, тогда график функции на этом промежутке
будет обращен выпуклостью вверх. Критерий
вогнутости функции на промежутке 
.
Если в каждой точке промежутка 
выполняется соотношение 
,
то в этом случае функция будет вогнута
на данном промежутке, график будет
обращен выпуклостью вниз.
Точка граничная, отделяющая промежуток выпуклости от промежутка её вогнутости, называется точкой перегиба графика функции в том случае, если сама функция определена в этой точке
В этой точке касательная пересекает
график функции в точке 
и с одной стороны касательная находится
ниже точек графика, а с другой – ниже
точек графика.
В точке перегиба производная может не существовать. Границей, отделяющей промежуток выпуклости от промежутка вогнутости, может быть вертикальная асимптота графика.
Граничная точка, Отделяющая промежуток выпуклости от промежутка вогнутости – обязательно будет точкой перегиба.
Вторая производная не только существует, но и является непрерывной для икса.
Функция f(x)
при 
будет иметь точку перегиба, если в этой
точке вторая производная обращается в
ноль (при 
),
и при переходе через эту точку вторая
производная меняет свой знак.
29.Асимптоты графика функции.
Асимптотой графика функции называется прямая линия, которая обладает следующим свойством: при удалении точки графика от начала координат расстояние этой точки до указанной прямой, являющейся асимптотой, неуклонно непрерывно уменьшается. При неограниченном удалении точки графика от начала координат эта точка неограниченно приближается к асимптоте. Не у всякой функции график имеет асимптоты, поэтому приходится проводить исследования на наличие графика асимптот. При этом различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.
Определение 2. Вертикальная прямая с
уравнением 
называется вертикальной асимптотой
графика функции, если для этой функции
в этой точке выполняется одно из следующих
соотношений
Если прямая 
является вертикальной асимптотой
функции, то точка с абциссой 
является точкой разрыва второго рода
данной функции.
Наклонные асимптоты.
Определение3. Прямая 
называется наклонной асимптотой графика
функции, если выполняется следующее
соотношение.
Теорема1. Для того, чтобы прямая 
была наклонной асимптотой графика
функции необходимо и достаточно чтобы
одновременно выполнялись оба соотношения
1
Пусть 6 выполнено, тогда прямая y=kx+b будет асимптота (достаточный критерий).
Необходимость. Если прямая y=kx+b
является наклонной асимптотой графика
функции, то есть выполняется соотношение
,
то тогда необходимо будут выполняться
оба из соотношений 1.
Горизонтальная асимптота. В частном случае когда k равно 0, уравнение асимптоты будет иметь вид y=b то есть будет представлять из себя горизонтальную прямую и тогда предыдущая теорема упрощается.
Теорема2,как частный случай первой. Для того чтобы горизонтальная прямая y=b была горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x) необходимо и достаточно чтобы выполнялось соотношение
32.Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных.
. Переменная величина z
называется функцией двух других
переменных величин x
и y, если каждой
упорядоченной паре чисел x,y
из некоторой области D
соответствует по некоторому правилу
или закону одно вполне определенное
значение переменой z. Если
z является функцией
переменных x и y
пишут – 
.
x,y – независимые аргументы функции, переменная z обозначает саму функцию, а буквой f называется закон соответствия.
Число b называется пределом
функции 
при
,
,
если для любого как угодно малого числа
ξ найдется такое число 
,
большее нуля, что как только расстояние
между точками 
,так
сразу же 
Предел суммы равен сумме пределов, предел произведения равен произведению пределов, предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля.
Функция 
называется непрерывной в точке 
,
если в этой точке для этой функции
выполняются 2 условия:
-
-
В этой точке существует всесторонний предел
и
равен значению функции в точке 
.
Отметим, что теорема о непрерывных функции аналогична теореме о непрерывности в одномерном случае.
Теорема о непрерывности элементарной функции.
Элементарная функция непрерывна во всех тех точках, где она определена. Если функция определена в некоторой точке, то и непрерывна в некоторой точке. Во всех точках координатной плоскости этот многочлен непрерывен.
33.Теорема Вейерштрасса для функции нескольких переменных (без док).
Теорема1. Если функция для двух
переменных 
определена и непрерывна в некоторой
конечной замкнутой области D,
то в этой области найдутся две такие
точки , что в этих точках функция z
будет принимать соответственно свое
наименьшее и наибольшее значение в этой
области, то есть будут выполняться
следующие соотношения
Теорема 2,как следствие. Если какое-то
число 
находится между наибольшим значением
и наименьшим, то обязательно внутри
области D найдется такая
точка 
,
что в этой точке значения функции будет
равно число µ.
34.Частные производные функций нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных частных производных второго порядка функции двух переменных (без док).
Предел отношения частного приращения
по x функции z
к вызвавшему его приращению аргумента
называется
частной производной от исходной функции
(если этот предел существует). Обозначается
Аналогично определяется частное производное по аргументу игрик по исходной функции.
–
вторая частная производная по "x"
дважды. Она определяется как
Если вторые частные производные непрерывны в некоторой окрестности точки, то тогда смешанные производные будут равны друг другу. Эта теорема позволяет утверждать что, как правило, результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.
