19.Классификация бесконечно малых функций.

Предположим, что в каком-либо исследовании одновременно рассматривается ряд бесконечно малых величин a, b, g…, которые, вообще говоря, могут быть функциями от одной и той же переменной, стремящейся к конечному или бесконечному пределу.

Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. В основу этого сравнения кладется поведение их отношения.

Определение 1. Если отношение b /a (a /b ) имеет конечный и отличный от нуля предел, то бесконечно малые a и b считаются (называются) величинами одного порядка малости.

Определение 2. Если отношение b /a само оказывается бесконечно малым (а обратное a /b - бесконечно большим), то бесконечно малая b считается величиной высшего порядка малости, чем бесконечно малая a , и одновременно бесконечно малая a будет величиной низшего порядка, чем бесконечно малая b .

20.Дифференциал функции, его геометрический смысл. Использование дифференциала при приближенных вычислениях.

Дифференциал независимого аргумента функции равен приращению этого аргумента.

Справедливо равенство . Поэтому определение дифференциала моно записать так –, отсюда .

Кроме производной в матане важное значение играет понятие дифференциала функции.

По основному свойству предела если функция имеет предел, то отличие функции от предела бесконечно мало.

это основное; главная линейная часть приращения функции.

Определение 1. Главная линейная часть приращения функции равная произведению называется дифференциалом функции и обозначается через dy. По определению – dy=

Отметим, что дифференциал функции отличается от её приращения на слагаемое .

Геометрический смысл дифференциала функции.

Придадим приращение , тогда при таком приращение аргумента функция получит приращение f(). Дифференциал – приращение, которая получает касательная при приращении аргумента.

dy – приращение касательной.

Дифференциал – KM. (KM=dy)

Это приращение не самой функции, а приращение касательной к графику этой функции, проведенной в точке, в которой вычисляется этот дифференциал (при ).

Так как приращение отличается от дифференциала на (), то на практике используется такое

21.Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции в точке.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение Δy в точке x₀ может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е.

Теорема Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную. Доказательство Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x₀, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке:

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x₀ и y`(x<sub>0</sub>)=A. Достаточность. Пусть существует конечная производная y`(x₀)∈R . Покажем дифференцируемость функции.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: =y`(x₀)+α(Δx), где

, Δy=y`(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y`(x0) . Теорема доказана. Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке x₀ называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции Δy в данной точке.

22.Теорема Ферма.

23.Теорема Ролля.

24.Теорема Лагранжа. Следствие – признак постоянства функции.

Если на некотором промежутке производная тождественно равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна.

Доказательство. Будем понимать заданную функцию  у = f(x)  как закон движения материальной точки  Р  по оси  у.  Если производная обратилась в нуль, то точка  Р  остановилась. Если производная все время равна нулю, то точка  Р  все время стоит на месте, а тогда функция  у  является постоянной, что и требовалось доказать. Заметим, что верна и обратная теорема: если функция постоянна, то ее производная равна нулю. Производную постоянной функции мы вычислили ранее. Таким образом,  f = const

25.Правила Лопиталя (без док).

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность типа или . Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

• Если и , то

• Если и , то аналогично

26.Монотонность функции. Необходимое и достаточное условия монотонности. Достаточное условие строгой монотонности.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) < f (x₂).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) > f (x₂).

Достаточный признак монотонности.

f`(x)<0 – необходимый признак убывания функции.

Достаточное условие строгой монотонности функции на промежутке. Теорема (достаточное условие) Если функция f(x) дифференцируема на (a,b) и f/(x)≥0  (f/(x)≤0)  на (a,b), то f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). Доказательство Рассмотрим случай когда f/(x)≥0 . Рассмотрим две точки x1,x2∈(a,b)  и применим формулу Лагранжа. На [x1,x2] функция f(x) удовлетворяет всем условиям этой теоремы. Следует, чтоx1<x2: f(x2)−f(x1)=f/(c)(x2−x1),  где c∈(x1,x2)  и правая часть больше нуля, значит f(x2)−f(x1)≥0  или f(x2)≥f(x1)  при x2>x1, функция не убывает. Теорема доказана.

27.Экстремум функции. Необходимое условие экстремума функции. Достаточное условие строгого экстремума функции (первое – перемена знака производной при переходе через исследуемую точку, второе – при помощи второй производной).

. Говорят, что функция при имеет минимум, если найдется такая дельта окрестность этой точки, что для всех x принадлежащих этой дельта окрестности будет выполняться условие . ()

Общим названием для максимума и минимума служит термин – экстремум. При функция имеет экстремум, если в этой точке она имеет или максимум, или минимум.

Через производную формулируются необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция в точке имела экстремум.

Необходимое условие экстремума - Если функция имеет при некотором экстремум и если она дифференцируема в этой точке, то необходимо в этой точке будет выполняться соотношение .

Достаточные условия строго экстремума: