1.Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Сходящаяся последовательность. Теорема о единственности предела числовой последовательности.
Определение 1. Числовая функция, заданная на множестве всех натуральных чисел называется числовой последовательностью и её принято обозначать xn =f(x)- формула общего члена последовательности. Числовая последовательность задана, если существует правило (закон) f позволяющий сопоставить каждому натуральному числу n одно определенное число последовательностей xn. Аргумент называется порядковым номером числа последовательности. xn: x1, x2, x3,…, xn.
Определение 2. Действительное число
а называется пределом последовательности
xn
при n 
,
если для любого как угодно малого
положительного числа E
найдется такое порядковый номер nE,
что для всех чисел последовательности,
порядковый номер которых больше этого
числа будет выполняться соотношение
.
Число Эпсилон – положительное,
количественно характеризует степень
близости числа последовательности к
своему пределу. Чем меньше E,
тем число последовательности ближе
своему пределу.
Если число а в смысле данного
определения 
является пределом последовательности
xn
при n 
,
то принято писать 
.
Если число а есть предел
последовательности xn
, то при достаточно больших n
(
)
можно использовать приближенное
соотношение 
.
Если последовательность xn
имеет придел при n
,
то будем называть её сходящейся
последовательностью.
Теорема. Если последовательность xn
имеет предел при n
,
то он единственный. Сходящаяся
последовательность не может иметь два
различных предела. (Единственность
предела последовательности)
2.Монотонные последовательности. Ограниченные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Число е.
Критерии существования предела последовательности. Монотонная последовательность, если она ограничена, обязательно будет иметь придел.
Последовательность x1, x2, x3,…, xn, xn+1 ; x1<x2< x3… <xn< xn+1 называется монотонно возрастающей, если каждая последующая больше предыдущего. Если монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху x1 < xn <M ; M>0, то обязательно будет иметь придел.
Последовательность называется монотонно убывающей, если каждый последующий меньше предыдущего. x1, x2, x3,…, xn, xn+1 ; x1>x2> x3… >xn> xn+1 m >x1 > xn; m>0
Монотонно убывающая последовательность, если она ограниченна снизу , то она обязательно будет иметь предел (критерий Вейерштрасса существования предела последовательности).
Теорема. Если монотонная
последовательность
ограничена,
то она сходится.
В соответствии с критерием Вейерштрасса
– 
сходящаяся последовательность, т.е.
имеет предел при n
,
этот предел – число иррациональное,
выражается бесконечный десятичным
рядом, его обозначают числом e.
; 
Число е в дифференциальном исчислении
функций играет важную роль. Это
единственное число, которое обладает
следующим свойством 
.
Такую же важную роль играет и обратная
функция 
.
Принято ей особое обозначение 
и называется натуральным логарифмом,
он табулируется.