1. Правило деления суммы на число.

(a+b):c=a:c+b:c

a=n(A), b=n(B), A∩B=Ø

разобьем объединение А и В на попарнонепересекающиеся подмн-ва.

| | …..| | |.... |

А В

Разобьем мн-ва А и В на равночисленные подмн-ва, каждое из кот-ых содержит по с элементов. Тогда таких подмн-в А а:с, а в В b:с Тогда число подм-в в разбиении объединения А и В. Тогда число таких подм-в а:с + b:с , что совпадает с числом элементов в разбиении объединения А и В на попарнонепересекающихся подмн-вах, каждое из кот-ых содержит по с элементов, т.е (a+b):c, т.к a+b = n (АUВ)

2. Деление произведение на число

(a·b):c=(a:c)b ab=a+a+...+a (b раз)

n(A_i) =a i=1,...,b A_i∩A_j =Ø i≠j

n(A₁UA₂U ... UA_b) = ab

A= A₁UA₂U ... UA_b

Каждое из мн-в A₁, A₂, ..., A_b разобьем на с равночисленных подмн-в, каждое из кот-х содержит a·:c элементов. Тогда всего элементов в объединении мн-ва А будет: a:c+a:c+…+ a:c (b раз)

3. Деление разности на число

(a-b):c=a:c-b:c

Теоретико-множественное истолкование отношения «меньше в» («больше в »).

a:b=c, если a>b в c раз (b<a в c раз ), то a:b=c

a=n(A), b=n(B), a<b в c раз

Т.к. a<b => во мн-ве В можно выделить собственное подмн-во мн-ва А. Т.к. . a<b в c раз, то мн-во В можно разбить на с подмн-в попарнонепересекающихся, каждое из кот-ых равномощны мн-ву А.

Замечание: из аксиоматики известно, что если число a<b в c раз, то чтобы найти число а, нужно a:b, поэтому при решении задач, в кот-ых используется отношение «меньше в» выбирается действие деления.

Пример: У Маши 6 яблок, а у Кати – в 2 раза меньше. Сколько яблок у Кати?

А- мн-во яблок у Маши; В – мн-во яблок у Кати. n(A)=6

Т.к. у Кати меньше чем у Маши, то во мн-ве А можно выделить собственное подмн-во →В. А поскольку у Кати яблок в 2 раза меньше, чем у маши, то мн-во А можно разбить на 2 непересекающихся равномощных мн-ва В => поэтому задача реш-ся с помощью действия деления, т.к. требуется узнать число элементов в каждом подмн-ве разбиения.

Теоретико-множественное истолкование деления с остатком.

a, b, g єN, r єNU{0} a=bg+r 0≤r<b

g, r єN a=bg+r r<b

a=n(A), b=n(B)

a=bg+r r<b g, r єN

A

|―| ― |― |― |-| RcA и R→ R′

B′ R R′ c B

B′′ B′ → B

B′′ = B′₁U B′₂ U ... U B′_g

Если число а:b с остатком r и неполным частным g. Это означаеи, что мн-во А можно представить в виде объединения 2-х непересекающихся мн-в B′′ и R, таких, что мн-во B′′ можно разбить на g попарнонепересекающихся мн-ва из которых →В. И во мн-ве В можно выделить собственное подмн-во →R.

Пр-р: разделить 13 на 5 с остатком.

13:5=2 (ост 3)

13=5*2+3

13 = n (A), 5=n(B)

неполное частное g=2, это означает, что во мн-ве А можно выделить 2 непересекающихся равночисленных подмн-ва равномощные мн-вам В и R. Мн-во R → некоторое подмн-во мн-ва В