2.Аксиоматика множества целых неотрицательных чисел. Арифметические операции над целыми неотрицательными числами, их основные свойства.

Основные понятия: единица, натуральное число; основное отношение: следовать за. а' – элемент следующий за а

Опред: не пустое мн-во N, заданное на нем отношение следовать за, элементом которого является натуральное число, назыв-ся мн-во натуральных чисел, если выполняется следующая система аксиом (аксиомы Пеано):

А1. Существует натуральное число, которое не следует ни за каким другим натуральным числом (это число единица)

(Существует 1єN) (для любого числа а є N) 1 ≠ а

А2. За каждым натуральным числом следует только одно натуральное число (Для любых чисел a, b є N) a=b =>a'= b'

А3.Каждое натуральное число следует не более чем за одним натуральным числом(Для любых чисел a,bєN)a'=b'=>a=b

А4. Аксиома индукции M ≠Ø, M Í N

1. 1 є M => M=N

2. a є M => a' є M

Опред: Сложением натуральных чисел называется операция (обозначается +) удовлетворяет следующим условиям:

1.(Для любого а є N) а+1= а' , 2.(Для любых a, b є N) a+b' = (а+b)' При этом результат операции называется суммой двух натуральных чисел, а компоненты– слагаемыми.

Теорема: Сумма двух натуральных чисел существует и единственна.

1.Единственность.

+, (+)

1.(Для любого а є N) а (+) 1= а' (2)

2.(Для любых a, b є N) a (+) b = (а (+) b)'

1. (Для любого а є N) а+1= а' (1)

2.(Для любых a, b є N) a+b = (а+b)'

Выберем элемент а М={для любого а є N | а+ b ≠ а (+) b }

1. 1єM ? (a+1=a (+) 1) a+1=a' = a (+) 1

2. b є M а + b = а (+) b=> b' є M a+b' = a (+)b' а + b = а (+) b => a+b' = a (+) b'

В силу того, что элемент а выбран произвольно следует то, что для любых а и bєN сумма а и b единственна.

2. Существование 1. a є N, М={для любого b є N | а+ b существует} (3)док-ть: M=N

док-во:

1) 1+а = а'

1 є M ? (1) (1+1=1') – это следует из определения мн-ва натуральных чисел

(2) 1+а=(1+а)'

1+а= а' => (1+а)' = (а')' 1+а' = (1+а)' => (1+а)' = 1+а' єM

2. b єM => b' єM a' + b = (a+b)' = b'+a = (b+a)' (4)

1 єM => 1. b'+1 = (b+1)' = (b')'

2. (b'+ а' ) = (b'+ а)' b'+ а' = (b+ а')' = ((b+ а)') = (b'+ а)'

Вывод: 1. M=N; 2. В силу того, что а выбран произволен следует то, что для любого а и bєN сумма а и b существует.

следствия: а+1=а' = 1+а => 1+a=a+1; a+b'=a'+b = (a+b)'

Свойства операции сложения:1.Коммуникативный закон.(Для любых чисел a, b є N) a+b = b+a 2.Ассоциативный закон.(Для любых чисел a, b, с є N) (a+b)+с = а+(b+с) 3. (Для любых чисел a, b, є N) a+b≠a или а+b≠b

Опред: Умножением натуральных чисел называется операция (обозначается «∙» ) удовлетворяет следующим условиям:

1)(Для любого а є N) а∙1= а , 2)(Для любых a, b є N) a∙b' =аb+a При этом результат операции называется произведением двух натуральных чисел, а компоненты– множители.

Теорема: Произведение двух натуральных чисел существует и единственна. 1. Единственность.

Свойства произведения:1. (Для любых чисел a, b є N) ab = ba2.(Для любых чисел a, b, с є N) (ab)с = а(bс)

3. .(Для любых чисел a, b, с є N) (a+b)с = ас+bc

Опред: разностью двух натур-х чисел a,b называется сєN такое, что а=b+c. Обозначается c=a-b, при этом а – уменьшаемое, b – вычитаемое. Операцию, с помощью которой находится разность, называют вычитанием.

Теорема: Разность a,bєN существует тогда и только тогда, когда a>b, если разность существует, то она единственна.

правила вычитания:

1. правило вычитания числа из суммы. Для того, чтобы из суммы вычесть число достаточно это число вычесть из одного из слагаемого и к полученному результату прибавить другое слагаемое

2. правило вычитания суммы из числа. Для того, чтобы из числа вычесть сумму достаточно из данного числа вычесть последовательно слагаемые

3. правило вычитания числа из разности. Для того, чтобы из разности a-b вычесть c, достаточно из числа a вычесть сумму b+c

4. правило вычитания разности из числа. Для того, чтобы из числа a вычесть a-b, достаточно из а+c вычесть b. И если a>b, то достаточно к (a-b) прибавить c

5. правило прибавления разности к числу. Для того, чтобы к a прибавить (b-c) достаточно от (a+b) вычесть c. И если a>c, то достаточно к (a-c) прибавить b

Опред: Частным a, b є N называется сєN, такое что а=bc. Обозначается c=a:b, при этом а - делимое, b–делитель, а действие, с помощью которого находится частное называется – деление.

Теорема: Для того, чтобы существовало частное a, b є N, необходимо, чтобы a ≥b. Если частное существует то оно единственно.

правила деления:

1. правило деления суммы на число. Для того чтобы разделить сумму на число достаточно каждое слагаемое разделить на данное число (если частное существует) и полученные результаты сложить, т.е.

(для любых a,b,c є N) a:c, b:c =>(a+b):c=a:c+b:c

2. правило деления разности на число. Если существует частные a:c, b:c. И a>b, то (a-b):c=a:c-b:c

3. правило деления произведения на число. Если существуют частные чисел a:c, то (ab):c=(a:c)b

Введение нуля.

Z=Nu{0} – мн-во целых неотрицательных чисел

Опред: не пустое мн-во Z назыв-ся мн-во целых неотрицательных чисел, если отношение следовать за, заданное на мн-ве удовлетворяет система аксиом:

А1. Существует во мн-ве Z элемент, который не следует ни за каким другим элементом данного мн-ва (это 0)

(Существует 0єZ) (для любого числа а є Z) 0 ≠ а А4. Аксиома индукции M ≠Ø, M Í Z

1. 0 є M => M=Z

2. a є M => a' є M

Опред: Сложением целых неотрицательных чисел называется операция (обозначается +) удовлетворяет следующим условиям:1.(Для любого а є Z) а+0= а 2.(Для любых a, b є Z) a+b' = (а+b)'

Опред: Умножением целых неотрицательных чисел называется операция (обозначается «∙») удовлетворяет следующим условиям:1.(Для любого а є Z) а∙0=0 2.(Для любых a, b є Z) a∙b' =аb+a

Замечания:1. Отношение следовать за и операция сложения и умножения на мн-веZ обладает теми же св-вами, что и на мн-веN. 2. Операция деления на мн-ве Z оперед-ся также как и на мн-ве N, кроме деления на0.

Предложение: Деление на 0 невозможно

Док-во: (Метод от противного)

Предположим, что делить на 0 можно, т.е. 1) а≠0, b=0 и частное a:b существует => (для всякого cєZ) a=bc => a=0∙c=0; 2) a=0, b=0 и существует a:b => (для всякого cєZ) a=bc => 0=0∙c

К последнему равенству удовлетворяет любое cєZ, т.е. условия а=а, b=0 и частное а:b определено неоднозначно, поэтому считается что деление на 0 не опеределено.

свойства мн-ва целых неотрицательных чисел: бесконечность, линейная упорядочность, дискретность, архимедовость, наличие наименьшего числа.

Опред: Будем говорить, что натуральное а> натурального b, если существует cєN, что а= b+с

Замечание: если a>b, то b<a

Опред: a≥b, если a>b или a=b

Замечание: a≤b, если a<b или a=b

Теорема: (закон трихотомии)

Существует и при том единственное одно и только одно из следующих отношений. (Для любых a,bєN) a>b или a<b или a=b

Док-во: 1.единственность

Предположим, что

a>b и a=b

||

(сущ-ет cєN), что а= b+с => a=a+c (по Т. (Для любых чисел a, b, є N) a+b≠a или а+b≠b)

a>b и b>a

|| ||

(сущ-ет cєN), (сущ-ет mєN),

а= b+с b= a+m

a=(a+m)+c=a+(m+c) => противоречит Т. (Для любых чисел a, b, є N) a+b≠a или а+b≠b= > предположение неверно

2. существование.

аєN, М={для любого b є N| для которых выбран элемента а существует одно и только одно из этих отношений}. Докажем, что M=N.

1. 1 є M ? a=1 => a=b=1 є M

2. b єM => b' єM

1) a>b => (сущ-ет cєN) a=b+c

c=1 a=b+1=b' =>a= b'

c≠1 (сущ-ет b!єN) c=k' => a=b+ k'=b+(k+1)=(применив А.З. и К.З. можно прийти к равенству) = (b+1)+k= =b'+k => a>b'

2)a=b => a'=b' => a+1= b'=> b'>a

3) b<a => a<b => (сущ-ет n єN) b=a+n => b'=(a+n)' = a+n' => b'>a

из доказанного следует, что M=N для любых а, b єN выполняется одно из условий: a>b или a<b или a=b

теорема: (для любых а, b єN) a>b и b>с => a>c

a>b => (сущ-ет k єN) => a=b+k │=> a=(c+m)+k=c+(m+k)=>a>c

b>c => (сущ-ет m єN) => b=c+m

теорема: для любого aєN a>a

(сущ-ет a єN) a>a => (сущ-ет n єN) a=a+n (противоречит Т. (Для любых чисел a, b, є N) a+b≠a или а+b≠b= > предположение неверно)

теорема: (о монотонности сложения и умножения)для любых a,b,c єN

1. a=b => a+c=b+c и ac=bc

следует из теоремы о существовании и единственности суммы и произведения

2. a>b =>a+c=b+c и ac>bc

a>b => (сущ-ет k єN) a=b+k => a+c=(b+k)+c= (b+c)+k=> a+c>b+c

=> ac= (b+k)c= bc+kc => ac>bc

3. a<b =>a+c=b+c и ac<bc (док-ся аналогично 2, требуется заменить a>b на a<b)

теорема: (законы сокращения) для любых a,b,c єN

1. a+c=b+c и ac=bc=> a=b

2. a+c=b+c и ac>bc => a>b

3. a+c=b+c и ac<bc=> a<b

a+c=b+c, a>b и b>a => a+c>b+c и b+c> a+c – противоречие=> a=b

ан-но док-ся ac=bc => a=b

a+c=b+c и a>b => a+c> b+c и (a=b, b>a)=> a+c >b+c, ac=bc и b+c>a+c

теорема: (о сложении и умножении равенств и неравенств) для любых a,b,c, d єN

1. a=b и c=d=> a+c=b+d и ac=bd

a=b и c=d=> a+c=b+c, c=d => a+c=b+d

ac=bc => ac=bd

2. a>b и c=d => a+c> b+d и ac>bd

a>b и c=d=> a+c=b+c=> a+c>b+d

ac>bc => ac>bd

3. a>b и c>d => a+c> b+d и ac>bd

a>b и c>d => (сущ-ет k,m єN) a=b+k, c=d+m => a+c=(b+k)+c=> a+c=(b+k)+(d+m)=>(1)=>(b+d)+(k+m)=> a+c>b+d

c=d+m=>(2)=>ac=(b+k)(d+m)=>ac=bd(kd+km+bm)=>ac>bd

теорема: (о наименьшем натуральном числе) для любого a єN a≥1

1. a=1 => 1=1

2. a≠1 => (сущ-ет b єN) a=b'=> b+1 => a>1

из 1 и 2 следует, что для любог a єN a≥1

теорема: (аксиома Архимеда) (для любых a, b єN) (сущ-ет n єN) bn≥a

(для любого a єN) (сущ-ет n єN) n>a (n=a')

(для любого b єN) b≥1 (согласно теореме о наименьшем натуральном числе)

bn≥a (согласно теореме о сложении и умножении равенств и неравенств)

теорема: (о дискретности мн-ва N) между двумя натуральными соседними числами не существует другого натурального числа, т.е. не сущ-ет bєN, удовлетворяющего условию: a+1>b>a

иначе: если b>a, то b≥a+1

если b<a+1, то b≤a

1. b>a => b≥a+1.

b>a => (сущ-ет c єN) b=a+c

(для любого c єN) c≥1=> a+c≥a+1 => b≥a+1

2. b<a+1=> a+1>b => a+1≥b+1 => a≥b => b≤a

теорема: Любое непустое подмножество мн-ва N содержит наименьший элемент.

B ≠Ø, B c N (для любого x єN) a≤x

1. 1єB теорема выполняется согласно теореме о наименьшем элементе

2. S={а є N|(для любого b єB) a<b }

1 єS (для любого b єB) 1<b; a єS =>a' єS

Не для всякого a єS, a' єS, т.к. если бы это было так , то согласно аксиоме индукции, то S=N и тогда B = Ø. А это противоречит теореме. (Найдется элемент a єN), a є S, a' не принадлежит S. a є S=> (для любого bєB ) a<b => a≤b+1=b', a<b' и a=b' выполняться не может, потому что в этом случае бы a є S, а этого быть не может

a=b' => b' во мн-ве B играет роль наименьшего элемента