Лекция 4.Предел функции Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Пусть функция y =f(x) определена в некоторойокрестностиx₀,кроме, может быть, самой точки x₀.

Определение. ЧислоA называется пределом функцииy =f(x) в точке x₀ (или при х →x₀), если для любого сколь угодно малого числа ε> 0найдетсятакоечисло δ> 0, что для всех х x₀, удовлетворяющих неравенству

│ х –x₀│< δ, выполняется неравенство│f(x) –А│<ε.

Или кратко:

ε> 0 δ > 0, x:│ х –x₀│< δ, х x₀> │f(x) –А│<ε.

Геометрический смысл предела функции заключается в следующем: число , если для любой ε – окрестности точкиAнайдется такая δ – окрестность точки x₀, что для всех х x₀ из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε – окрестности точки А.

Рис. 1

Пример:Доказать, что

Решение. Возьмем произвольное и найдем такое, что для всехx, удовлетворяющих неравенству, , выполняется неравенство, то есть.

Взяв , видим, что для всехx, удовлетворяющих неравенству, , выполняется неравенство, следовательно,

Пусть функция y =f(x) определена в промежутке (–; +).

Определение. ЧислоA называется пределом функцииf(x) при х , если для любого числа ε > 0существуеттакоечисло M = M (ε) > 0, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству │x│>M,выполняется неравенство │f(x) – А│< ε. В этом случае пишут f(x) = А.

Или кратко:

ε> 0 M> 0, │x│ >M> │f(x) –А│<ε.

f(x) = А.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно большойфункцией при х →x₀, если f(x) = .

Определение 2. Функцияf(x) называется бесконечно малой функцией при х →x₀, если f(x) = 0.

Основные теоремы о пределах функций.

Теорема 1. Предел постоянной величины равен самой постоянной:

c = c.

Теорема 2. Пределсуммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

= f(x)φ(x).

Теорема 3.Пределпроизведения двух функций равен произведению их пределов:

= f(x)φ(x).

Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на передел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

,  0.

Теорема 5. (О пределе промежуточной функции) Если в окрестности точки x₀выполняются неравенства:

и==А, то .

Лекция 5.Техника вычесления пределов Замечательные приделы.

Пример 1.

Будем говорить, что предел отношения двух функций есть неопределенность вида или, если числитель и знаменатель дроби одновременностремятся к нулю или к бесконечности. Раскрыть эти неопределенности – значит вычислить предел отношения, если он существует или установить, что этот предел не существует.

Пример 2.

Из рассмотренного примера следует правило: чтобы раскрыть неопределенность вида приx→x₀ функции, заданной в виде отношения двух многочленов, необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель x−x₀ и дробь на него сократить.

При вычислении пределов отношения двух многочленов при x→для раскрытия неопределенности виданадо числитель и знаменатель дроби разделить наx в старшей степени.

Пример 3.

Пример 4.