- •Мультимедийные лекции
- •Содержание
- •Основные сведения о матрицах.
- •Виды матриц
- •Операции над матрицами и их свойства.
- •Правило Саррюса (правило треугольника).
- •Теорема Лапласа
- •Свойства определителей.
- •Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица.
- •Решение матричных уравнений.
- •Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы.
- •Элементарные преобразования матрицы.
- •Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
- •Методы решения систем линейных уравнений.
- •1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
- •Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли, базисные решения.
- •Системы линейных однородных уравнений. Исследование решений. Фундаментальная система решений.
- •Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Продуктивные модели Леонтьева.
- •Балансовые соотношения
- •Линейная модель многоотраслевой экономики
- •Векторы (основные понятия и определения).
- •Сложение векторов
- •Разность векторов
- •Линейные операции над векторами. Направляющие косинусы.
- •Прямоугольный базис.
- •Декартова прямоугольная система координат в пространстве.
- •Прямоугольные координаты вектора (точки).
- •Разложение вектора по базису.
- •Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами.
- •Векторное произведение векторов (геометрический смысл, свойства).
- •Свойства векторного произведения.
- •Выражение векторного произведения через координаты.
- •Смешанное произведение векторов (геометрический смысл, свойства).
- •Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
- •Понятие векторного (линейного) пространства. Вектор вn‒ мерном пространстве.
- •Размерность и базис векторного пространства.
- •Линейная оболочка и ее свойства.
- •Свойства линейной оболочки
- •Евклидово пространство.
- •Ортогональный и ортонормированный базис.
- •Переход к новому базису.
- •Линейные операторы.
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).
- •Квадратичные формы.
- •Линейная модель обмена (международной торговли).
- •Уравнения прямой (различные виды). Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнение прямой проходящей через две данные точки.
- •Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором (нормалью).
- •Общее уравнение прямой.
- •Формула угла между прямыми.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Формула расстояния от точки до прямой.
- •Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа.
- •Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа.
Задача решения уравнений вида , послужила одним из поводов для расширения понятия числа.
Рассмотрим уравнение:
,
Обозначим – мнимая единица
, тогда
Добавив ко всем действительным числам числа мнимые, получим множество комплексных чисел K.
Определение. Числа вида (где–действительная часть;
–мнимая часть; – мнимая единица), называютсякомплексными.
Запись называется алгебраической формой комплексного числа.
Геометрическое изображение
Ось OX – действительная ось
Ось OY – мнимая ось
Комплексная плоскость
RealZ = a– действительная часть
ImaginaryZ = b– мнимая часть
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
1) Сумма (разность) комплексных чисел
;
2) Произведение комплексных чисел
(учли, что )
3) Деление комплексных чисел
Для того чтобы выполнить деление комплексных чисел, надо числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю:
Следовательно,
Пример:
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
–модуль комплексного числа
, следовательно
– тригонометрическая форма комплексного числа.
Пример:
;
a = 1;
b = – 1;
φϵIVчетверти. Тогда
.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Пусть даны два комплексных числа:
Тогда получим:
.
Примеры:
а) Пусть
z₁ = 3 ∙ (cos 20° + isin 20°);
z₂ = 2 ∙ (cos 35° + i sin 35°),
тогда
z₁· z₂ = 6 ∙ (cos 55° + i sin 55°).
б) Перемножить три комплексных числа:
2∙(cos 150° + i sin 150°), 3∙[cos (‒160°) + i sin (‒160°)] и 0,5∙(cos 10° + i sin 10°).
Решение: Модуль произведения 2 · 3 · 0,5 = 3.
Аргумент произведения 150° ‒ 160° + 10° = 0°.
Произведение равно 3 ∙ (cos 0° + i sin 0°).
Показательная форма записи комплексных чисел.
Воспользуемся тождеством Эйлера:
, ()
Умножим обе части этого равенства на:
.
Следовательно,
– показательная форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами в показательной форме.
Пусть даны два комплексных числа:
;
Тогда получим:
.
Пример:найти:
, при k= 0; 1.
.
φϵIIчетверти. Тогда ,
При k= 0:
При k= 1: