Тема 6. «Многочлены: теорема Безу и схема Горнера. Разложения алгебраических дробей»

Ранее понятие многочлена было определено как алгебраическая сумма одночленов. Если все подобные одночлены многочлена приведены и расположены в порядке убывания степени переменной, то полученная запись называется канонической формой записи многочлена.

Определение. Выражение вида

_{где x – некоторая переменная, действительные числа, причем , называется многочленом степени n от переменной x. Степенью многочлена является наибольшая степень переменной в его канонической записи. Если переменная не встречается в записи многочлена, т.е. многочлен равен константе, его степень считается равной 0. Случай, когда многочлен необходимо рассматривать отдельно. В этом случае принято считать, что его степень не определена.}

_{Примеры. многочлен второй степени,}

_{многочлен пятой степени.}

_{Определение. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда у них в канонических формах при одинаковых степенях стоят одинаковые коэффициенты.}

_{Определение}. Число называется корнем многочлена , если при постановке этого числа вместо x многочлен принимает значение 0, т.е. _{Другими словами,} будет являться корнем уравнения

_{Таким образом, задача отыскания всех корней многочлена и корней рационального уравнения – одна и та же задача.}

Рациональные уравнения первой и второй степени решаются по известным алгоритмам. Существуют также формулы отыскания корней многочленов третьей и четвертой степени (формулы Кардано и Феррари), однако в силу их громоздкости они не входят в курс элементарной математики.

Общей идеей отыскания корней многочленов высших степеней является разложение многочлена на множители и замена уравнения равносильной ему совокупностью уравнений более низкой степени.

_{В предыдущих темах отмечались основные способы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя; группировка; формулы сокращенного умножения.}

_{Однако способ группировки не носит алгоритмического характера, поэтому его трудно применять для многочленов больших степеней. Рассмотрим некоторые дополнительные теоремы и методы, позволяющие раскладывать на множители многочлены высших степеней.}

_{Теорема о делении с остатком. Пусть даны многочлены , причем степень отлична от 0, и степень больше степени . Тогда существуют многочлены , такие, что выполняется равенство}

_.

_{Причем, степень меньше степени Многочлен называется делимым, многочлен делителем, многочлен неполным частным, а многочлен остатком.}

_{Если остаток от деления равен 0, то говорят, что делится на нацело, при этом равенство принимает вид:}

_{Алгоритм деления многочлена на многочлен аналогичен алгоритму деления числа на число столбиком или уголком. Опишем шаги алгоритма.}

1. _{Записать делимое в строчку, включая все степени переменной (те, которые отсутствуют, записать с коэффициентом 0).}

2. _{Записать в «уголке» делимое, включая все степени переменной.}

3. _{Чтобы найти первое слагаемое (одночлен) в неполном частном, нужно старший одночлен делимого разделить на старший одночлен делителя.}

4. _{Полученное первое слагаемое частного умножить на весь делитель и результат записать под делимым, причем одинаковые степени переменной записать друг под другом.}

5. _{Из делимого вычесть полученное произведение.}

6. _{К полученному остатку применить алгоритм, начиная с пункта 1).}

7. _{Алгоритм завершен, когда полученная разность будет иметь степень меньше степени делителя. Это – остаток.}

Пример. Разделить многочлен на .

1. _{Записываем делимое и делитель}

2. _{Находим старший одночлен частного, разделив на . Умножаем его на делитель и вычитаем из делимого.}

3. _{Повторяем процедуру}

_{Степень меньше степени делителя. Значит, это – остаток. Результат деления запишется так:}

_{Схема Горнера. Если делителем является многочлен первой степени, то процедуру деления можно упростить. Рассмотрим алгоритм деления многочлена на двучлен} .

1. _{Нарисовать таблицу с двумя строками и числом столбцов, равным степени делимого, увеличенной на единицу.}

2. _{В первую строку таблицы вписать коэффициенты делимого, записанного в канонической форме, включая и нулевые коэффициенты для отсутствующих степеней x.}

3. _{Перед началом второй строки вписать число а. В первую клетку второй строки вписать то число, которое стоит в первой клетке первой строки (старший коэффициент делимого будет и старшим коэффициентом делителя).}

4. _{Каждая следующая клетка второй строки заполняется по правилу: предыдущее число второй строки умножается на число а, к результату прибавляется число из первой строки, стоящее в клетке с предыдущим номером.}

5. _{В результате в клетках второй строки (кроме последней) получаем коэффициенты неполного частного, а в последней – остаток от деления. Если остаток получился 0, то исходный многочлен делится на двучлен без остатка.}

_{Пример. Разделить по схеме Горнера многочлен на . В этом случае а=2. Выпишем по шагам результаты выполнения алгоритма.}

	1	0	-3	2
2	1

_{Шаг первый.}

	1	0	-3	2
2	1	2

_{Шаг второй}

	1	0	-3	2
2	1	2	1

_{Шаг третий}

	1	0	-3	2
2	1	2	1	4

_{Шаг четвертый}

_{Таким образом, результат деления запишем так}

_.

_{Замечание. Если необходимо выполнить деление на двучлен}

_{то его преобразовывают к виду тогда . Отсюда видно, что, разделив по схеме Горнера на мы найдем Тогда искомое частное получится делением найденного на а. Остаток остается таким же.}

_{Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на равен значению многочлена в точке x=а, т.е. . Многочлен делится на без остатка тогда и только тогда, когда x=а является корнем многочлена .}

_{Таким образом, найдя один корень многочлена а, можно его разложить на множители , выделив множитель , имеющий степень на единицу меньше степени . Найти этот множитель можно либо по схеме Горнера, либо делением «уголком».}

_{Вопрос о нахождении корня решается либо подбором, либо с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.}

_{Теорема. Пусть многочлен имеет целые коэффициенты. Если несократимая дробь является корнем многочлена, то ее числитель p является делителем свободного члена , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента .}

_{Эта теорема лежит в основании алгоритма поиска рациональных корней многочлена (если они есть).}

1. _{Выписать все делители свободного члена.}

2. _{Выписать все делители старшего коэффициента.}

3. _{Составить дроби вида , удовлетворяющие условиям теоремы. Эти числа являются «претендентами» в рациональные корни многочлена.}

4. _{Подстановкой или по схеме Горнера проверяем, имеются ли среди «претендентов» корни многочлена. Если многочлен имеет рациональные корни, то они все содержатся среди «претендентов» и будут выявлены.}

5. _{Разделить многочлен на двучлен .}

6. _{К полученному частному можно вновь применить данный алгоритм. При этом список «претендентов» либо остается тем же, либо сокращается.}

_{Разложение алгебраической дроби в сумму простейших дробей}

_{Определение Дробь, в числителе и в знаменателе которой стоят многочлены, называется алгебраической дробью.}

_{Рассмотрим алгебраические дроби от одной переменной. Их в общем виде можно записать так: , где в числителе стоит многочлен степени n, в знаменателе – многочлен степени k. Если , то дробь называется правильной.}

_{К простейшим алгебраическим дробям относятся правильные дроби двух видов:}

1. _{В знаменателе дроби стоит многочлен вида , а в числителе – число (многочлен нулевой степени).}

2. _{В знаменателе дроби стоит многочлен , а в числителе – многочлен первой степени.}

_{Теорема. Любую алгебраическую дробь можно представить в виде суммы простейших алгебраических дробей.}

_{Алгоритм разложения алгебраической дроби в сумму простейших дробей.}

1. _{Разложить знаменатель на множители.}

2. _{Определить количество правильных дробей и вид их знаменателей.}

3. _{Записать равенство, в левой части которого – исходная дробь, в правой – сумма простейших дробей с неопределенными коэффициентами.}

4. _{Привести дроби в правой части к общему знаменателю.}

5. _{Приравнять многочлены, стоящие в числителях дробей. Пользуясь определением равенства многочленов, составить систему линейных уравнений и решить ее, найдя неопределенные коэффициенты.}

6. _{Записать ответ.}