Контактное термическое сопротивление зависит от шероховатости поверхностей, давления, прижимающего две поверхности одна к другой, и свойств среды в зазорах с учетом температуры в зоне контакта.
Механизм передачи теплоты в зоне контакта довольно сложен, так как в зазорах, заполненных газом или жидкостью, теплота переносится путем конвекции и излучения.
Пренебрегая излучением между поверхностями, разделенными газовой средой, можно учесть термическое сопротивление в зоне контакта в виде суммы термических сопротивлений фактического контакта Rф и газовой прослойки Rг.
Rк = Rф + Rг
Вбольшей части инженерных задач это сопротивление не учитывается.
1.5.Теплопроводность в цилиндрической стенке
Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности через однородную цилиндрическую стенку трубы длиной l с внутренним диаметром r1 и наружным r2 (рис. 1.5). На поверхности стенки заданы постоянные температуры tC1 и tC2. В случае (l>>r) изотермические поверхности будут цилиндрическими, а температурное поле одномерным, т.е. t= f(r), где r – текущая координата цилиндрической системы, r1 ≤r ≤r2.
Тогда уравнение теплопроводности (1.11) для цилиндрической стенки
имеет следующую форму (в виде цилиндрической системы координат): |
|
|||
|
∂2t |
+ 1 dt |
= 0 |
(1.26) |
|
∂r2 |
|||
|
r dr |
|
|
|
Введение новой переменной U= dt/dr позволяет привести уравнения (1.26) к виду:
dU +U =0 |
(1.27) |
dr r |
|
После разделения переменных и интегрирования получим: |
|
lnU + lnr = lnC1 |
(1.28) |
Потенцируя уравнение (1.28) и, переходя к первоначальным переменным, имеем:
dt=C1(dr/r)
После интегрирования уравнения (1.29) получим: t =C1lnr +C2
Граничные условия 1 рода записываются равенствами:
- при r=r1; t=tC1 - при r=r2; t=tC2.
Подставляя граничные условия в равенство (1.30), имеем:
С1= |
(tC1 −tC 2 ) |
,C |
|
= tC1 −(tC1 −tC 2 ) |
(lnr |
/ln |
r1 |
) |
|
|
|
||||||||
ln(r r ) |
|
2 |
1 |
1 |
|
r |
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Подставляя значения С1 и С2 в уравнение(1.30), получим:
(1.29)
(1.30)
(1.31)
|
t |
−(t |
−t |
)(ln r1 ) |
|
t |
− (t |
−t |
)(ln d1 ) |
|
|
t = |
C1 |
C1 |
C2 |
r2 |
или t = |
C1 |
C1 |
C2 |
d2 |
, |
(1.32) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ln(r1 r2) |
|
ln(d1 d2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
где d1 и d2 - внутренний и наружный диаметр цилиндра d – переменный диаметр, d1 ≤d ≤d2.
Выражение (1.32) представляет собой уравнение логарифмической кривой (рис. 1.5).
рис. 1.5
Следовательно, внутри одной цилиндрической стенки при постоянном значении теплопроводности температура изменяется по логарифмическому закону (рис. 1.5).
Количество теплоты, проходящее через цилиндрическую поверхность площадью F в единицу времени, найдем из уравнения Фурье:
dQ = −λ(dt /dr)F = −λ(dt /dr)2πRl, |
(1.33) |
где l - длина цилиндра.
Подставляя в уравнение (1.33) значение градиента температуры согласно
уравнению (1.28), получим: |
πl(tC1−tC2) |
|
|||
Q = |
(1.34) |
||||
(1/2λ)ln(d |
2 |
/d ) |
|||
|
|
1 |
|
||
Из выражения (1.34) видно, что величина Q зависит не от толщины стенки, а от отношения его наружного диаметра к внутреннему.
Тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндрической стенки находится в виде:
ql = |
Q |
= |
π(tC1 −tC2) |
|
(1.35) |
||
l |
(1/2λ)ln(d |
2 |
/d |
) |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндрической стенки,
называется линейной плотностью теплового потока и измеряется в Вт/м.
Величина (1
2λ)ln(d2 /d1) есть термическое сопротивление теплопроводности
цилиндрической стенки.
Тепловой поток Q может быть отнесен к единице внутренней или внешней поверхности цилиндрической стенки. При этом расчетные формулы принимают вид:
qd |
=Q /πd1l = 2λ(tC1 −tC2)/d1ln(d2 /d1) |
(1.36) |
1 |
|
|
qd |
=Q /πd2l = 2λ(tC1 −tC2)/d2ln(d2 /d1) |
(1.37) |
2 |
|
|
Величины qd1 и qd2 представляют собой плотности теплового потока,
отнесенные к площади внутренней или внешней поверхности цилиндрической стенки.
Из выражений (1.35) – (1.37) можно установить связь между величинами ql , qd1 , qd2 :
ql |
=πd1qd −πd2qd |
(1.38) |
|
1 |
2 |
Если d2 /d1<2, то кривизна стенки слабо влияет на величину теплового потока. В этом случае (с точностью до 4%) при определении теплового потока можно воспользоваться выражением для плоской стенки:
ql = 2λπdср(tC1 −tC2)/(d2 −d1),
где dcр – средний диаметр цилиндрической стенки. dcр=0,5(d1+d2)
Для многослойной цилиндрической стенки линейная плотность теплового
потока ql одинакова для каждого слоя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
q = |
π(tC1 −tC(n+1)) |
|
|
|
|
|
(1.39) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
l |
n |
1 |
ln |
d |
i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2λ |
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Величина |
(1/2λ)ln(dn+1)/di) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
представляет |
собой |
термическое |
||||||||||||||||||
сопротивление теплопроводности отдельного слоя, |
|
а |
n |
|
|
)/ d |
|
) - |
||||||||||||||
|
∑(1/ 2λ)ln((d |
i+1 |
i |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
полное термическое сопротивление многослойной цилиндрической стенки. |
|
|
||||||||||||||||||||
Температура на границе двух любых слоев равна: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
q |
k |
1 |
|
|
d |
i+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
= t |
− |
|
l |
(∑ |
|
ln |
|
|
) |
|
|
(1.40) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
||||||||||||||
|
C(k+1) |
C1 |
|
π |
1 2λi |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||