ЗФ_ПР3Прогнозирование
.pdfПрогнозирование. Причинно-следственные методы
прогнозирования
Методы прогнозирования
Причинно-следственные методы прогнозирования – это методы, в которых изменения значения какой-либо величины осуществляется на основе известных значений другой величины:
Где f-функция прогнозирования,
-набор независимых переменных (факторов).
-зависимая переменная (результат).
Таким образом, зная значения независимых переменных, можно предсказать значение зависимой.
Условия использования причинно-следственных методов прогнозирования
1.Наличие связи, которую можно установить на основе данных за прошлый период, между зависимой и независимой переменной.
2.Значения независимой переменной за период, на который необходимо сделать прогноз, должны быть известны.
Подбор кривой методом наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов – это формальная процедура для подбора кривой по точкам, которая выполняется в 2 этапа:
1.Задается вид функции (линейная, квадратичная, и т.д.)
2.Среди функций выбранного вида выбирается функция, для которой сумма квадратов разностей между точками данных и значениями функции была бы минимальна:
(1)
Коэффициенты a и b выбираются так, чтобы минимизировать |
. |
Функция, которая минимизирует сумму (1) называют функцией регрессии.
300
250 |
|
|
d5 |
|
|
|
|
200 |
|
d4 |
y=a+bx |
|
|
||
|
d3 |
d2 |
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
100
d1
50
0
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
Определение коэффициентов a и b
Для определения коэффициентов a и b находят частные производные по a и по b суммы (1) и полученные выражения приравнивают к нулю. В результате получается система уравнений относительно a и b:
Решение этой системы запишется следующим образом:
((2)
В Excel точечные оценки коэффициентов регрессии a и b можно вычислить одним из 4-х способов: вычислением по формуле, использованием функции ЛИНЕЙН (возвращает значения a и b, вычисленные методом наименьших квадратов), используя процедуру «Регрессия» пакета «Анализ данных», с помощью надстройки Поиск решения.
Оценка прогноза
1.Определение коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции r служит математической мерой корреляции двух случайных величин: |
|||||||||
|
|
|
|
n |
x x y |
y |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
||
r |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||
в |
|
n |
|
x |
x |
n |
y |
y |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i |
2 |
i |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
x
y
–среднее значение фактора; rв – выборочный коэффициент корреляции [-1,1];
–среднее значение результата, n – объем выборки.
Для качественной оценки силы связи на основе показателя эмпирического коэффициента корреляции можно использовать соотношение Чэддока:
Связь весьма тесная – коэффициент корреляции |r| находится в интервале 0,9 - 0,99 Связь тесная – |r| = 0,7 - 0,9
Связь заметная – |r| = 0,5 - 0,7 Связь умеренная – |r| = 0,3 - 0,5 Связь слабая – |r| = 0,1 - 0,3
2. Определение коэффициента детерминации
Коэффициент детерминации (статистика r²) показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х. Коэффициент детерминации связан с коэффициентом корреляции квадратичной зависимостью. При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи – единице.
Например, изучается зависимость производительности труда водителей ТС от их квалификации. Коэффициент детерминации равен 0,7. Следовательно, на 70% вариация производительности труда водителей обусловлена различиями в их квалификации и на 30% – влиянием прочих факторов. Т.е. только 70% всех значений y можно выразить через переменную x.
Оценка прогноза
3. Определение стандартной ошибки
Стандартная ошибка показывает величину разброса исходных данных относительно линии регрессии:
n- число точек данных,
k – количество независимых переменных
С помощью стандартной ошибки можно оценить также точность определения коэффициентов регрессии a и b.
4. Определение доверительного интервала прогноза
Для определения доверительного интервала прогноза можно использовать эмпирическое правило, которое гласит, что с вероятностью 68% (или 95%) можно утверждать, что фактическое значение прогнозируемой величины будет находиться в окрестности найденного значения прогноза с разбросом ± Se (или ± 2Se).
Оценка прогноза
5. Определение доверительного интервала для коэффициентов a и b
где Sa и Sb - cтандартные ошибки коэффициентов регрессии;
t ,k - табличное значение статистики t при заданном уровне значимости и заданном числе степеней свободы k.
Доверительный интервал для коэффициента b не должен включать 0, так как при b=0 статистическая зависимость между x и y отсутствует.
Оценка регрессий в MS Excel
Чтобы оценить регрессию в пакете Excel, необходимо во вкладке Данные выбрать опцию «Анализ данных».
Вграфе “Входной интервал” Y необходимо выбрать столбец, который будет отвечать за значения регрессанта.
Вграфе “Входной интервал X” необходимо выбрать столбцы, которые содержат значения регрессоров.
Опция «Метки», если активна, позволяет учитывать первую строку, как названия переменных.
Вразделе «Параметры вывода» можно устанавливать, куда выводятся результаты оценки регрессии.
Оценка регрессий в пакете Excel
Коэффициент a
Коэффициент b
Уровень значимости, показывает с какой |
Доверительный интервал для |
вероятностью коэффициенты регрессии |
коэффициентов регрессии |
отличаются от 0 . В данном случае - 95% и 99,6%. |
|
Подбор квадратичной функции
Метод наименьших квадратом можно применять при любом количестве независимых переменных и для функции регрессии произвольного вида. Для подбора квадратичной функции y=a0+a1x+a2x² требуется найти такие коэффициенты a0, a1, a2, которые бы минимизировали сумму квадратов отклонений
Приравняем к нулю частные производные по a0, a1, a2. Получим уравнения:
В Excel точечные оценки коэффициентов регрессии a0, a1, a2 можно вычислить, используя процедуру «Регрессия» пакета «Анализ данных» или с помощью надстройки Поиск решения.
300
y = -0,0044x2 + 2,1461x - 13,547 250 
200
150
100
50
0
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |