3.2. Линейное преобразование

Преобразованием линейного n-мерного пространства X называют оператор A, отображающий это пространство в m-мерное пространство Y:

A: XY.

Таким образом, преобразование A ставит в соответствие каждому вектору x пространства X вектор

y=Ax

пространства Y. В частном случае может быть Y=X. При этом преобразование A ставит в соответствие каждому вектору x пространства X вектор Ax того же самого пространства.

Преобразование A называют линейным, если выполняется условие

A(k1x1+k2x2)=k1 Ax1 + k2 Ax2.

Это условие будет выполняться, если между компонентами x(j) и y(i) векторов x и y имеется линейная зависимость вида

,

где aij – произвольные числа. Совокупность чисел aij, i=1, 2,…, m; j=1, 2, …, n образует матрицу A=[aij], которую называют матрицей линейного преобразования.

Среди линейных преобразований линейного пространства особую роль играют два:

1. Нулевое преобразование, ставящее в соответствие каждому вектору нулевой вектор o: Ox=o.

2. Единичное преобразование, ставящее в соответствие каждому вектору x тот же самый вектор: Ix=x.

3.3. Подпространство

Рассмотрим произвольное конечное множество точек S={x1, …, xm} линейного пространства X. Множество

при всевозможных i также представляет собой линейное пространство, являющееся подмножеством линейного пространства X и называемое линейным подпространством.

4. Матричные преобразования

Матрица B эквивалентна матрице А в том случае, если существуют такие две неособенные матрицы P и Q, что

B=PAQ.

4.1. Преобразование подобия

Рассмотрим линейное преобразование

y=Ax,

где x и y определяются в n-мерном пространстве с базисом zi. Предположим теперь, что требуется перейти от данного базиса к системе векторов wi. В этом состоит общая проблема преобразования координат. Пусть x и y соответственно переходят в новом базисе в координаты x’ и y’. Так как для zi и wi составляют два базисы в n-мерном пространстве, то должна существовать такая неособенная матрица P, что

Найдем связь между y’ и x’ в новой системе координат. Для этого умножим слева обе части этого уравнения на P и получим Py=Pax. Из уравнения выше следует, что

или

Матрица B, связывающая в новой системе координат x’ и y’, получается из A на основе преобразования подобия.

Преобразования подобия обладают важными свойствами:

1. Если матрица в одном базисе невырождена, то и в другом базисе она будет невырождена.

2. Определители, равно как и следы подобных матриц равны.

4.2. Ортогональное преобразование

Рассмотрим линейное преобразование

x=Qx’, P-1=Q,

где вектор x определяется в ортогональной системе координат. Если новая система координат также ортогональна, то длина вектора x’ в новой системе координат должна совпадать с длиной вектора x в первоначальной системе координат. Следовательно

<x , x>=<x’ , x’>.

Выражая это соотношение посредством матрицы Q, имеем

Для этого необходимо, чтобы QT=Q-1.

Следовательно, при переходе от одного ортогонального базиса к другому матрица преобразования Q, ставящая в соответствие вектору в первоначальной системе координат вектор в новой системе координат, должна удовлетворят условию QT=Q-1. Данное преобразование называют ортогональным преобразованием. Матрица Q называется ортогональной матрицей. Ортогональное преобразование является частным случаем преобразования подобия. Оно оставляет неизменными длины и углы.

Из условия QT=Q-1 как следствие вытекает

|QT| |Q| = 1 или |Q| = 1.

Знак минус в определителе означает, что ортогональное преобразование можно получить путем вращения или отражения. Косинусы углов между осью i' и осями 1, 2, … , n обозначаются соответственно элементами матрицы Q. Эти величины называются направляющими косинусами или направлениями новых осей по отношению к старым.