Расчет дискретного фильтра

Для выделения колебания заданной частоты рассчитаем дискретный полосовой фильтр, центр эффективного пропускания которого совпадает с этой частотой.

Передаточная функция БИХ-фильтра может быть получена путем билинейного преобразования передаточной функции аналогового полосового фильтра.

В качестве аналогового полосового фильтра выберем полиномиальный фильтр Баттерворта. Поскольку гармоники сигнала на выходе нелинейного преобразователя достаточно далеко разнесены по частоте, порядок фильтра может быть получен невысокий. Частоты соседних гармоник должны попадать в полосу непропускания фильтра. Характеристика ослабления фильтра должна обладать геометрической симметрией относительно выделяемой гармоники (рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 – Характеристика ослабления фильтра

Расчет полосового фильтра обычно сводят к расчету НЧ-прототипа.

Рассчитаем БИХ-фильтр для выделения второй гармоники при частоте генерируемых колебаний 15.1 кГц, неравномерность ослабления в ПЭП =1дБ, минимально допустимое ослабление в ПЭН А_min =16 дБ (рис. 6.4), порядок НЧ-прототипа равен 2, период дискретизации Т=5.51 мкс.

Рассчитаем граничные частоты полосы эффективного пропускания (в дальнейшем ПЭП) и ПЭН.

Зная соотношение для ω₀:

То, задавшись одной из неизвестных частот, например, f₃=12 кГц, то есть ω₃=2πf₃=75360 рад/с, найдем ω′₃:

Учитывая соотношение:

Найдем ширину полосы эффективного пропускания:

Получаем систему уравнений:

Решая данную систему, получаем:

ω₂=68568,5 рад/с

ω′₂=46588,5 рад/с

Таким образом, граничные частоты ПЭП и ПЭН принимают значения:

f₂ = 10,92 кГц (ω₂ = 68568,5 рад/с);

f'₂ = 7,42 кГц (ω'₂ = 46588,5 рад/с);

f₃ =12 кГц (ω₃ = 75360 рад/с);

f'₃ =6,05 кГц (ω'₃ = 42390 рад/с).

Находим полосы передаточной функции НЧ – прототипа:

S_1,2 = -0,814634; S_3,4 = -0,407317±j1,11701

Денормирование и конструирование передаточной функции искомого ПФ осуществляется в два этапа.

На первом этапе находим полюсы передаточной функции полосового фильтра по известным полюсам НЧ-прототипа.

Для этого воспользуемся соотношением:

где Δω/2=10990 рад/с;

ω₀²=3,19∙10⁹ (рад/с)²;

σ_i+jΩ_i – i-ый полюс передаточной функции НЧ-прототипа.

Учитывая, что одной паре комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции полосового фильтра, рассчитаем полюса передаточной функции.

Таблица 5

Результаты расчетов полюсов передаточной функции

Номер полюса	Полюсы Н(р) полосового фильтра
	-α∙104	±jω∙104
1,2	0,8952	5,5766
3,5	0,5476	4,5349
4,6	0,3476	6,4947

Передаточная функция полосового фильтра может быть представлена в виде произведения трёх сомножителей второго порядка:

где

Коэффициенты при р в знаменателях сомножителей а_i = 2α_i, а свободные члены а_0i = α_i² + ω_i².

Таблица 6

Значения сомножителей

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
	bi	ai	a0i
1	2,3136*104	1,7904 *104	3,1899*109
2	2,3136*104	1,0952 *104	2,0865*109
3	2,3136*104	0,6952 *104	4,2302*109

Тогда передаточная функция искомого ПФ запишется:

Для того, чтобы перейти к передаточной функции БИХ-фильтра, выполним замену в выражении (6.4):

(6.5)

Передаточная функция БИХ-фильтра может быть записана в виде произведения постоянного сомножителя и двух сомножителей второго порядка:

, (6.6)

где - постоянный умножитель на входе,

, - вспомогательная переменная (6.7)

, .

Тогда

Тогда передаточная функция искомого БИХ-фильтра запишется

Данная схема реализуется каскадным соединением умножителя и двух рекурсивных звеньев второго порядка. Схема БИХ-фильтра приведена на рисунке 6.2.

_{Для расчета комплексной частотной характеристики фильтра в выражении} выполним замену

Расчет выполним для нормированной частоты , (6.8)

Тогда

Результаты расчета частотной характеристики фильтра приведены в таблице.

Рисунок 6.2 – Схема БИХ-фильтра

Таблица 6.4 - Результаты расчета частотной характеристики фильтра

,кГц		H(𝞨)
0	0.0000	0	0
17.6	0.1000	0.003	175.867
35.2	0.2000	1	-9.237e-14
52.8	0.3000	0.004	-174.582
70.4	0.4000	0.001	-178.16
88	0.5000	0	180.013
105.6	0.6000	0.001	178.16
123.2	0.7000	0.004	174.582
140.8	0.8000	1	6.821e-13
158.4	0.9000	0.003	-175.867

По результатам расчета построим график АЧХ цепи, рисунок которой можно увидеть в приложении №4

В результате получена характеристика полосового фильтра с периодом повторения, равным частоте дискретизации.

Ослабление фильтра связано с частотной характеристикой выражением:

(6.9)

В силу нелинейности преобразования, границы полосы пропускания и полосы непропускания дискретного БИХ-фильтра не будут совпадать с соответствующими значениями аналогового фильтра. Найдем их из соотношения

, (6.10)

где - частота аналогового фильтра,- частота цифрового фильтра.

Тогда (6.11)

В результате расчета получили:

Определим ослабление в диапазоне частот , результаты запишем в таблицу 6.5.

Таблица 6.5 – Результаты расчета ослабления фильтра

	,кГц
	28	0,140	0,1	21.5
		0.144	0,14	20.56
	30	0,150	0,971	8
		0,179	0,985	0.1896
	35	0,187	0,991	0,39
	35.2	0,2	1	0
	35.1	0,23	0,9981	0,206
	35.5	0,2553	0,99	0.1678
	36	0,2617	0,631	2
	39	0,275	0,372	8.9
		0,29	0,116	21.09

По результатам расчета построим графики АЧХ и ослабления цепи

(Приложение №4)

Проверим, соответствуют ли ослабление спроектированного фильтра исходным требованиям.

По результатам расчета видим, что:

ослабление на границе полосы пропускания

ослабление на границе полосы непропускания

Очевидно, что требования, заданные при проектировании выполнены.