учеб реология Арет

дусматривается как литература для учебных занятий, поэтому здесь по возможно-

сти не целесообразно приводить конечные формулы с отсылками на какую-либо другую справочную литературу.

В интересах конкретности рассмотрим схему ротационного вискозиметра типа немецкого Реотеста, где внешний цилиндр неподвижен, а внутренний вращается и на нем же измеряется крутящий момент и угловая скорость. Схема прибора приве-

дена на рис.3_4_1. Течение полагаем стационарным, ламинарным, изотермическим.

Компоненты скорости течения вдоль продольной оси цилиндров и в направлении радиуса полагаем равными нулю. Следовательно, реологические эффекты второго порядка, как то эффект Вейссенберга, Пойнтинга, вихри Тейлора в рамках данной теории не описываются.

Рис.3_4_1

Запишем уравнение равновесия в моментах относительно оси вращения мыслен-

но выделенного цилиндрического осесимметричного элемента вискозиметра с ро-

тором и слоем жидкости, на который действует активный момент на роторе и реак-

тивный момент от сил вязкого трения на внешней поверхности цилиндра жидкости

122

L-длина цилиндров;

- касательные напряжения на поверхности цилиндра жидкости с радиусом r;

ML - крутящий момент активный момент.

где M ML - крутящий момент на единицу длины цилиндров;

L

1, 2 - касательные напряжения на рабочих поверхностях внутреннего и наружного цилиндров;

r1 ,r2 - соответственно, наружный радиус внутреннего цилиндра (ротора) и внут-

ренний радиус неподвижного наружного цилиндра.

Этот же результат можно получить из уравнений движения в цилиндрических коор-

динатах.

Из кинематических соображений запишем скорость сдвига в жидкости в цилин-

дрических координатах

где

r - скорость сдвига на поверхности цилиндра жидкости с текущим радиусом;

r - угловая скорость цилиндра жидкости с текущим радиусом;

v r - линейная скорость точек цилиндра жидкости с текущим радиусом.

Реологическое уравнение жидкости с учетом выражений (3.4.2) можно записать следующим образом

123

Из этой записи следует, поскольку в уравнении отсутствует время, что эффекты тиксотропии и реопексии лежат вне данной теории, хотя в принципе ротационные вискозиметры достаточно удобные приборы для изучения этих реологических не-

стационарностей. С математической точки зрения здесь нам важно, чтобы функция

(3.4.4) была бы однозначной и удовлетворяла бы обычным условиям непрерывности и дифференцируемости, что обеспечивает автоматически физическая природа рео-

логического уравнения.

Из уравнения (3.4.3) и (3.4.4) запишем

Заметим, что при записи верхних пределов интегрирования полагают прилипае-

мость жидкости к поверхности неподвижного цилиндра вискозиметра

Продифференцируем первое уравнение из выражений (3.4.2) и немного его преоб-

разуем

Тогда выражение (3.4.6) в новых переменных интегрирования в правой части, опять поменяв местами пределы интегрирования, можно переписать в виде

Чтобы связать напряжения с измеряемой на вискозиметре угловой скоростью ро-

тора, примем текущий радиус за радиус ротора и запишем (3.4.8) в виде

124

Выведем самое распространенное в теории ротационных вискозиметрах формулу Маргулеса. Примем за реологическое уравнение линейное уравнение ньютоновской жидкости и проведем интегрирование правой части выражения (3.4.9):

f ;

(3.4.10)

Подставим в (3.4.10) величины касательных напряжений из формул (3.4.2) и полу-

чим формулу Маргулеса

Коэффициент динамической вязкости ньютоновской жидкости можно, следова-

тельно, с аналитической точи зрения определить однократным измерением момен-

та на роторе и угловой скорости его вращения :

Повторные опыты нужно проводить лишь для получения статистических вероятно-

стных показателей, на которые указывалось в начале данной главы. Поскольку мо-

мент и угловая скорость имеют разные знаки, то коэффициент вязкости получается положительной величиной. Формулу (3.4.12) можно использовать при вискозимет-

рировании таких текучих пищевых материалов, как, например, молоко, раститель-

ные масла и различные растворы и суспензии с малой концентрацией твердой фазы.

Если конструкция вискозиметра такова, что ротор вращается в условно беско-

нечной среде жидкости , то нужно изменить краевые условия и интегрирование по формуле (3.4.5) проводить следующим образом

125

4 r12

Этот же результат можно получить в пределе непосредственно из формулы (3.4.12)

Иногда в формулах (3.4.12) и (3.4.16) приписывают сомножителем ускорения сво-

бодного падения, что не нужно делать, что легко видеть из элементарного анализа размерностей в гостированной системе единиц SI:

В некоторых старых изданиях в качестве единицы измерения коэффициент внут-

реннего трения (вязкости) используется пуаз или сантипуаз, по этому приведем связь между единицами:

1 пуаз 10 2 сантипуаз 1дин с 9,81 10 2 Па с; см2

(3.4.18)

1дин 9,81 10 6 Н; 1Па 1 Н

м2

Сомножитель , равный ускорению свободного падения, в формуле (3.4.12) появ-

ляется при переводе коэффициента вязкости из сантипуаз в единицы СИ [Па с].

Во многих конструкциях вискозиметров типа Куэтта вращается внешний ци-

линдр с угловой скоростью , а момент М измеряется на внутреннем неподвижном цилиндре с помощью торсионных измерительных систем, где момент является ре-

активным. В этом случае активный момент на внешнем цилиндре и угловая ско-

126

рость совпадают по знаку. Проедем вывод формулы Маргулеса для данной конст-

рукции, для чего выражение (3.4.5) перепишем в виде

Далее, следуя выводу (3.4.5 – 3.4.12), запишем

Подставим (3.4.20) реологическое уравнение ньютоновской жидкости и определим распределение скоростей течения по радиусу

Откуда , аналогично (3.4.12), получим формулу Маргулеса для определения коэф-

фициента динамической вязкости с той только разницей, что радиусы поменялись местами :

В предыдущих решенных задачах на определенном этапе предполагали, что жид-

кость подчиняется реологическому уравнению Ньютона. В действительности при

127

вискозиметрировании пищевых сред, особенно большой вязкости это, предположе-

ние не корректно. Мы не знаем вида реологического уравнения среды и именно оп-

ределение этого уравнения является целью ротационного вискозиметрирования, как и капиллярного вискозиметрирования, где эта проблема решалась с помощью урав-

нения Рабиновича.

Теперь поставим задачу следующим образом. Надо определить вид функ-

ции f на ротационном вискозиметре, для определенности, типа Куэтта.

Введем следующие обозначения и используем выражения (3.4.2):

Проведем интегрирование

1 2

Дифференцируя (3.4.28) по 1 , как в выводе уравнения Рабиновича, получим выра-

жение вида

Однако (3.4.29) не позволяет так просто, как в формуле Рабиновича, выразить ско-

рости сдвига на стенке внешнего цилиндра, где из уравнения равновесия легко вы-

числить касательные напряжения, и дальнейшая прямая аналогия с теорией капил-

лярных вискозиметров исключается.

128

Уравнение (3.4.28) называется линейным интегральным уравнением типа Воль-

терра. Для нужд ротационной вискозиметрии его решил 1953 году Павловский и дал следующее выражение для вычисления скоростей сдвига:

Следовательно, получив технические кривые вискозиметрирования в координатах

моменты касательные напряжения на поверхности внутреннего цилиндра, по фор-

муле Павловского на этой же поверхности можно рассчитать скорости сдвига и по-

добрать подходящий вид эмпирического реологического уравнения с помощью ка-

кого-либо метода описанного в начале данной главы.

Формула Павловского позволяет оценить погрешность, которая возникает при ротационном вискозиметрировании, если коэффициент эффективной вязкости неньютоновской жидкости рассчитывать по формуле Маргулеса, что весьма часто делается. Между тем формула Маргулеса справедлива лишь для ньютоновских жид-

костей.

Введем новый геометрический симплекс С и пусть вискозиметрируют степенную жидкость типа Оствальда-де Виля с реологическим уравнением вида

Если рассчитывать эффективную скорость сдвига и эффективный коэффициент вязкости по формуле Маргулеса, то получим

Вычислим угловую скорость по формуле (3.4.28) для степенной жидкости

129

Тогда по формулам (3.4.32) и (3.4.33) вычислим коэффициент эффективной вязкости

Эта формула не точна, поскольку использовалась формула Маргулеса, а она спра-

ведлива только для ньютоновской жидкости. Погрешность обусловлена неточно-

стью расчета скорости сдвига на стенке внутреннего цилиндра. Рассчитаем эту ско-

рость по формуле Павловского и сравним результаты по эффективному коэффици-

енту динамической вязкости.

Расчет показывает, что при a = n = 0.5 погрешность равна 20%. При n = 1, т.е. при ньютоновской жидкости погрешность равна нулю.

Отслеживая изложенные выше выкладки, можно сделать следующие выводы. Рота-

ционная вискозиметрия требует проверки следующих требований, вытекающих из условий вывода предыдущих формул:

1.При вискозиметрии надо исключить концевые эффекты параллельными опытами на роторах разной длины и одного радиуса.

2.Обеспечить ламинарность течения.

3.Проверить отсутствие пристенного проскальзывания.

4.Проверить среду на тиксотропию и реопексию.

5. Для жидкостей с ньютоновской вязкостью можно использовать формулу Маргу-

леса, для неньютоновских жидкостей при обработке данных вискозиметрирования надо использовать формулу Павловского.

3_5

3.5 Теория конических пластометров

130