Бандурин TOE 1

Резистивные элементы необратимо преобразуют электромагнитную энергию в тепло, причем величина сопротивления R (Ом) постоянна.

Индуктивные элементы запасают электромагнитную энергию W в магнитном поле, причем величина индуктивности L (Гн) постоянна.

Схема замещения катушки состоит из последовательно соединенных резистивного и индуктивного элементов (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

Емкостные элементы запасают электромагнитную энергию в электрическом поле, причем величина емкости C (Ф) постоянна.

Схема замещения конденсатора состоит из параллельно соединенных резистивного и емкостного элементов (рис. 2.3).

Рис. 2.3.

Примечание:

1) При постоянном токе напряжение индуктивного элемента

U L = L dIL = 0, а значит, индуктивный элемент – " закоротка" dt

(рис. 2.4).

U L

Рис. 2.4.

значит, емкостный элемент – " разрыв" (рис. 2.5).

31

Рис. 2.5.

2.Активные элементы схем замещения.

Кактивным элементам схем замещения относятся источники энергии, которые делятся на два типа: источники ЭДС (электродвижущая сила) и источники тока. Источники могут быть независимыми и зависимыми (управляемыми). Изображение идеальных источников на схемах и их характеристики приведены в табл. 2.2.

Идеальный источник ЭДС e характеризуется напряжением u, которое не зависит от протекающего тока i, причем сопротивление этого источника равно нулю.

Идеальный источник тока J характеризуется током i, который не зависит от его напряжения u, причем сопротивление его равно бесконечности.

Активные и пассивные элементы применяются для составления схем замещения реальных источников электромагнитной энергии (например, схема замещения аккумулятора рис. 2.6).

32

3. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

3.1.Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах.

Первый закон Кирхгофа

Для любого узла цепи алгебраическая сумма токов равна нулю, причем со знаком "+" принимаются токи, выходящие из узла:

Вкачестве примера рассмотрим узел a, изображенный на рис.

3.1.Ток i1 входит в узел a, а токи i2 и i3 выходят из узла a. Таким об-

разом, первый закон Кирхгофа для узла a будет иметь вид: −i1 + i2 + i3 = 0 .

i1

Рис. 3.1.

Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока.

Второй закон Кирхгофа

Для любого контура цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС и напряжений источников тока. Со знаком "+" принимаются те слагаемые, положительные направления которых совпадают с направлением обхода контура

рис. 3.2 будет иметь вид: −i1R1 + i2 R2 = u + e − u J .

34

Рис. 3.2.

Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.

Метод законов Кирхгофа

Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа необходимо составить

уравнений, где

nу – число узлов схемы; nв – число ветвей схемы.

Решение системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа, позволяет определить все токи и напряжения в рассматриваемой цепи.

3.2.Теорема Телледжена

Для любого момента времени сумма вырабатываемых мощностей источников равна сумме потребляемых мощностей во всех пассивных элементах рассматриваемой цепи

Эта теорема является законом сохранения энергии в электрической цепи и применяется как баланс мощностей для проверки правильности расчетов.

Составим баланс мощностей для резистивной цепи с постоянными напряжениями и токами для примера, изображенного на рис. 3.3.

35

Рис. 3.3.

второго закона Кирхгофа, которая применяется для проверки правильности расчетов в линейных резистивных цепях. Потенциальная диаграмма строится для контура без источников тока, причем потенциалы точек начала и конца диаграммы должны получиться одинаковыми.

Рассмотрим контур abcda (рис. 3.4) схемы, изображенной на рис. 3.3. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k.

36

3.4.Метод контурных токов

Метод контурных токов используется для расчета резистивных линейных цепей с постоянными токами и для расчета комплексных схем замещения линейных цепей с гармоническими токами. При этом в расчет вводятся контурные токи – это фиктивные токи, которые замыкаются в независимых замкнутых контурах, отличающихся друг от друга наличием хотя бы одной новой ветви.

В качестве примера рассмотрим контур, изображенный на рис. 3.6.

Обозначим контурные токи I11, I 22 , I33 , I 44 .

I22

Ток в каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов через нее проходящих, причем со знаком “+” берут те контурные токи, направления которых совпадает с направлением тока в ветви.

По второму закону Кирхгофа для данного контура (рис. 3.6) запишем уравнение:

R1I1 − R3 I3 − R2 I 2 = E1 − E2

или

R1 ( I11 − I22 ) − R3 ( I33 − I11 ) − R2 ( I11 − I44 ) = E1 − E2 .

Тогда для контура с током I11 (рис. 3.6) получаем:

( R1 + R2 + R3 ) I11 − R1I22 − R3 I33 + R2 I44 = E1 − E2 .

38

Таким образом, для рассматриваемого контура уравнение по методу контурных токов записывается следующим образом:

сумму сопротивлений своего контура, причем перед этим произведением ставится знак "+". Соседний контурный ток умножается на общее сопротивление между соседним и рассматриваемым контурными токами, причем перед этим произведением ставится знак "+", если направления этих контурных токов в общем сопротивлении совпадают между собой, и ставится знак "–", если направления их не совпадают. В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма ЭДС рассматриваемого контура, причем со знаком "+" берутся те ЭДС, направления которых совпадают с направлением рассматриваемого контурного тока. Для контура с источником тока контурное уравнение не составляется, так как контурный ток этого контура известен и равен току источника тока, причем через источник тока должен проходить только один контурный ток.

Таким образом, по методу контурных токов необходимо решить значительно меньше уравнений по сравнению с методом законов Кирхгофа.

3.5.Метод узловых потенциалов

b

R2

Рис. 3.7.

39

Метод узловых потенциалов используется для расчета сложных линейных схем замещения с постоянными или гармоническими напряжениями и токами. Расчетные уравнения данного метода могут быть доказаны при помощи законов Кирхгофа и обобщенного закона Ома. Получим расчетное уравнение метода узловых потенциалов для узла “a” некоторой схемы.

По обобщенному закону Ома:

Таким образом, потенциал ϕk рассматриваемого k – узла умножается на сумму проводимостей ветвей подходящих к этому узлу, причем перед этим произведением всегда ставится знак “+” и проводимость ветви с источником тока равна нулю. Потенциал ϕm соседнего m – узла умножается на проводимость ветви, соединяющей рассматриваемый k – узел с m – узлом, причем перед этим произведением всегда ставится знак “–”. В правой части уравнения записывается узловой ток рассматриваемого k – узла, равный алгебраической сумме подходящих к этому узлу токов источников тока и произведений подходящих к этому узлу ЭДС на проводимости своих ветвей. В узловом токе со знаком “+” берутся те слагаемые, у которых источники тока и ЭДС направлены в рассматриваемый k – узел. Потенциал одного из узлов принимается равным нулю, причем за такой узел принимается узел, соединенный с корпусом или “ землей”, или один из узлов, к которому подходит ветвь с нулевым сопротивлением и ЭДС.

Таким образом, для схемы с nу узлами по методу узловых потенциалов составляется система, содержащая не более n1=nу–1 уравнений, из решения которых определяются потенциалы узлов, а затем по обобщенному закону Ома рассчитываются токи и напряжения в ветвях схемы.

40