Бандурин TOE 1
.pdf
В результате при резонансе напряжений для исследуемой схе-
мы (рис.7.1) X = X L − X C = 0 ; X L = X C ; или ωL = |
1 |
. |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
ωC |
|
ω0 = |
|
1 |
|
– резонансная угловая частота. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
LC
Активная и реактивная мощности:
P = U 2 ; R
Q = UI sinϕ = 0 .
Тогда cosϕ = 1. Полная мощность S = 
P 2 + Q 2 = P , при этом
U L = U C = I × X L = I × X C = U × q , гдеq – добротность контура, которая показывает, во сколько напряжение на реактивных элементах превышает входное напряжение.
q = |
UC |
= |
U L |
= |
X L |
= |
X C |
= |
ρ |
>> 1, то U L = U C >> U , |
||||||||||
|
U |
|
|
|
|
R |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
U R |
R |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ρ = |
U L |
= |
UC |
= ω0 L = |
1 |
= |
|
|
L |
|
, (Ом) – характеристическое |
|||||||||
|
|
ω0C |
|
|||||||||||||||||
|
|
I |
|
|
|
I |
|
|
|
|
C |
|||||||||
сопротивление контура При резонансе напряжений входное сопротивление цепи будет
минимальным, а ток будет максимальным.
Векторная диаграмма при резонансе напряжений
|
Uɺ |
|
= R Iɺ |
||
|
|
R |
|
к |
|
|
|
|
к |
|
Iɺ |
Uɺ |
= R Iɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Н |
н |
|
|
Uɺ |
UɺК |
|
|
|
|
||
Uɺ |
= (− jX |
C |
)Iɺ |
UɺL = jX L Iɺ |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.2. |
||
121
Частотные и резонансные характеристики
Предположим к что к контуру приложено синусоидальное напряжение U (t) = U 
2 sinωt амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться в широких пределах от о до ∞ , изменение частоты приводит к изменению параметров контура, изменяется его реактивное, а, следовательно, и его полное сопротивление, а также угол сдвига между входным током и входным напряжением ϕ (аргумент комплексного сопротивления цепи).
Зависимости параметров схемы от частоты называют частот-
ными характеристиками цепи.
ϕ, рад |
|
|
ϕ(ω) |
ω0 |
ω, рад/с |
Рис. 7.3. |
|
Отметим, что частоты, при которых наблюдаются фазовый и амплитудный резонансы, не совпадают с частотой собственных колебаний контура (они совпадают только в теоретическом случае, когда катушка индуктивности и конденсатор без потерь)
122
X L (ω)
Z (ω)
XC (ω)
R(ω)
ω, рад/с
Рис. 7.4.
При изменении частоты ω меняется реактивное сопротивление цепи. При ω → 0 сопротивление Z → ∞ и ток I → 0 . При ω → ∞ сопротивление Z → ∞ и ток I → 0 . При изменении частоты ω от 0 до ω0 ϕ < 0 , т.е. полное сопротивление цепи имеет ёмкостный характер.
При изменении частоты ω от ω0 |
до∞ ϕ > 0 и увеличивается до π , |
|
2 |
т.е. полное сопротивление цепи имеет индуктивный характер.
Резонансные кривые
Зависимости действующих и амплитудных значений тока напряжения от частоты называют резонансными кривыми. Запишем на основании законов Ома.
Iɺ = |
Uɺ |
; I (ω) = |
|
|
|
U |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Z |
+ (ωL − 1ωC ) |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|||
|
|
|
Z |
|
X = ωL − 1 |
ωC |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
||
123
U L (ω) = I × X L = |
|
UωL |
; |
|||
|
|
|
|
|||
|
R2 + (ωL - 1ωC )2 |
|||||
UC (ω) = I × XC = |
|
|
|
U |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
ωC R2 + (ωL - 1ωC )2 |
|||||
UC , U L , I |
I (ω) |
|
|
|
|
|
UC (ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U L (ω) |
U |
|
|
|
|
|
I ® U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RK |
|
|
|
|
|
|
UC → 0 |
ωL |
ω0 |
|
ωC |
ω |
||
|
Рис. 7.5. |
|
|
|
||
Максимумы напряжений U L |
и UC |
|
имеют место при частотах, |
|||
отличных от резонансной, причём связь между частотами, при кото- |
||||||
рых кривые имеют максимумы ω ω |
= ω |
2 . |
|
|||
|
L |
C |
0 |
|
|
|
Im |
|
q > q |
2 |
> q |
||
|
|
|
1 |
|
3 |
|
Im |
|
2 |
q3 |
|
q2 |
|
q1 |
ω1 ω0 ω2 |
ω |
Рис. 7.6. |
|
График зависимости тока от частоты показывает, что цепь обладает избирательными свойствами. Цепь обладает наименьшим сопротивлением при резонансной частоте. Входной ток и напряжение при резонансе резко изменяют свою величину, что приводит к частотным искажениям сигнала. Чтобы эти искажения не превышали допустимой нормы, вводят понятие полосы пропускания– П (т.е.
124
спектр сигнала не должен выходить за пределы полосы пропускания).
Полоса пропускания для большинства сигналов устанавливается на уровне, при котором ток – I (напряжение – U) уменьшается
не более чем |
2 раз от максимального значения. |
||
По полосе пропускания определяется качество резонансной |
|||
цепи (её добротность) |
|
|
|
Q = ω0 , |
где П = ω |
2 |
− ω – полоса пропускания. |
П |
|
1 |
|
|
|
|
|
Чем больше добротность контура, тем острее кривая тока, тем выше избирательные свойства контура. Избирательными свойствами широко пользуются в электросвязи и радиотехнике, при этом режим резонанса является нормальным режимом работы цепи. Наоборот, в устройствах, где резонансный режим не предусмотрен, появление резонанса нежелательно, т.к. возникающее значительные напряжения на катушке и конденсаторе могут оказаться опасными для изоляции.
Резонанс напряжений используется:
а) в радиотехнике для усиления сигналов определенной часто-
ты;
б) в электроэнергетике для увеличения активной мощности нагрузки генератора (компенсация реактивной мощности).
jX Г |
− jX C |
UɺГ |
|
Iɺ |
|
Рис. 7.7. |
|
|
|
|
|
|
|
' |
= |
' |
|
2 |
= |
|
Eг2 Rн |
|
|
||
а) |
X С = 0 (С = ∞) Pн |
(I ) Rн |
|
|
|
, (Вт) |
|||||||||||
(R |
+ R )2 |
+ Х 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X С = X Г |
|
|
|
|
|
|
|
г |
н |
г |
|
|||||
б) |
(резонанс) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
" |
|
" |
|
2 |
|
Eг2 Rн |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pн |
= (I |
|
) |
|
Rн = |
|
|
> Pн |
, |
(Вт) |
|
|
|
||||
|
|
(R + R )2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
г н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125
Примечание: если Rk=0, то тогда Zdb=jXL-jXC=0 – это идеальный резонанс напряжений.
Резонанс токов
Резонанс токов – это резонанс при параллельно соединенных емкости и индуктивности
Iɺ IɺК
IɺC
Uɺ UɺС
UɺR |
к |
− jXC |
UɺL 
jX L
Рис. 7.8.
При резонансе токов входная проводимость цепи и входной ток минимальны
По закону Ома
|
Iɺ= UɺY вх = Ie j(α −ϕ ) , |
|
|
( A) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где Uɺ |
= Ue jα – |
|
входное напряжение. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Комплекс входной проводимости: |
|
||||||||||||||||||||||||
Y вх = |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
j |
+ |
|
|
Rк − jX L |
= |
||||
(− jX C ) |
|
(Rк + jX L ) |
X C |
(Rк |
+ jX L )(Rк − jX L ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= g − jb = Yвхе− jϕ , ( 1 |
Ом |
), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где g = |
|
|
Rк |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
– |
активная проводимость цепи, |
||||||||||||
2 |
+ |
|
|
|
2 |
Ом |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Rк |
|
ХL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 |
|
|
) – |
|
|
||||||
b = bк − bC = |
|
|
|
|
Х L |
|
− |
1 |
|
, |
|
|
реактивная проводимость це- |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
ХС |
|
Ом |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Rк |
|
+ Х L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
пи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) – модуль входной проводимости цепи. |
||||||||||
Yвх = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
g 2 + b2 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ = arctg |
b |
, |
|
(град) – |
|
угол сдвига фаз между током и напряжением. |
||||||||||||||||||||
g |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения резонанса ϕ = 0 , тогда Im(Y ) = b = bк − bC = 0 .
126
В результате при резонансе токов
bк = bC |
или |
|
|
X L |
|
|
|
= |
1 |
, |
|
||
R |
2 |
+ X |
2 |
|
|
X |
C |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
к |
|
L |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω L |
|
= ωC . |
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
+ (ω L )2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
Резонанса токов можно добиться изменяя: частоту, либо ёмкость,
либо индуктивность, либо активное сопротивление катушки.
Тогда
b = 0 |
Y вх |
= g |
ϕ = 0 |
||
|
ɺ |
ɺ |
jα |
|
|
|
I = Uge |
|
|||
|
|
|
|
|
|
P = U 2 g |
cos ϕ = 1 |
Q = 0 |
|||
S = P |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
При резонансе токов входная проводимость цепи и входной ток минимальны.
Векторная диаграмма при резонансе токов
+j
|
U R к |
b |
|
|
|
|
|
U |
U L |
I |
|
IС |
α = ϕк |
|
|
||
|
|
+1 |
|
a |
= Iкеj0° |
|
Iк |
|
Рис. 7.8.
127
где – Zк = |
Rк2 + Х L2 ; Iк = U |
; IС = U |
; |
|
|
|
|
|
; U R = RкIк . |
Zк |
ХС |
|
|
|
|
U L = Iк X L |
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
Резонансные характеристики |
|
|
||||
Запишем действующие значения токов ветвей |
|
ω L |
|
||||
Iɺ = UɺY ; I (ω) = U g 2 + (bC − bК )2 ; I L |
(ω) = U × bK |
= U |
; |
||||
|
|
|
|
|
R2 |
+ ω L2 |
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
IC (ω ) = U × bC = U ωC , на основе этих соотношений построим резо- |
|||||||
нансные характеристики. |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
g = |
|
Rк |
|
|
|
|
2 |
+ Х 2 |
|
|
||
|
|
|
R |
|
|
||
|
|
|
к |
L |
|
|
|
|
|
|
I (ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
IC (ω ) |
|
|
|
I0 = Ug |
|
|
|
IL (ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω0 |
ω, |
рад / с |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
резонанс |
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.9 |
|
|
|
|
|
|
I0 – действующее значение входного тока при резонансе токов |
|||||||
Частотные характеристики повторяют резонансные, только |
|||||||
в другом масштабе. |
|
|
|
|
|
|
|
128
|
b |
|
|
|
|
|
bC (ω) |
|
|
b = bC − bL |
|
|
|
|
bК (ω) |
0 |
ω0 |
ω, |
рад / с |
|
|||
|
резонанс |
|
|
|
Рис. 7.10. |
|
|
Примечание:
Если в ветви с ёмкостью присутствует последовательное сопротивление. Результирующая комплексная входная проводимость равна Y = g + jb,
где |
g = |
|
R1 |
|
|
− |
|
|
R2 |
; – вещественная часть, |
||||||||||||
R2 + X 2 |
|
R2 |
+ X 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
L |
2 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b = |
|
X L |
|
− |
|
|
X C |
|
|
– мнимая часть входной комплексной прово- |
||||||||||||
R2 |
+ X |
2 |
R2 |
+ X |
|
2 |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
L |
2 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
димости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iɺ |
|
|
Iɺ1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iɺ2 |
|
|
UɺR |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UɺR |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uɺ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ɺ |
|
Uɺ |
L |
jX L |
UС |
− jXC |
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.11. |
|
|
|
Приравнивая мнимую часть входной комплексной проводимости к нулю, получаем условие резонанса токов:
129
X L |
= |
X C |
|
ω L |
= |
1ωC |
|
|
|
или |
|
|
. |
||
R12 + X L2 |
R22 + X C2 |
R12 + (ω L )2 |
R12 + ( 1ωC )2 |
||||
Изменением одной из величин (ω, L,C, R1 , R2 ) при остальных четырёх постоянных не всегда может быть достигнут резонанс. Резонанс отсутствует, если значение изменяемой величины при её определении из уравнения получается мнимым или комплексным. Для L и C могут получаться и по два различных действительных значения. В таких случаях можно достичь двух различных резонансных режимов.
Решая уравнение относительно ω , получим величину резонансной частоты:
|
|
ρ 2 − R12 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ω p = ω0 |
|
, где ω0 = |
|
|
, ρ = |
L |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ρ 2 − R2 |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
LC |
|
|
|
C |
|||
Резонанс возможен, если сопротивления оба больше или оба меньше ρ . Если же это условие не выполняется, получается мнимая частота, т.е. не существует такой частоты при которой имел бы место резонанс.
При ρ = R1 = R2 , резонансная частота имеет любое значение, т.е. резонанс наблюдается при любой частоте.
|
|
UɺR1 |
UɺR2 |
ϕ = arctg X L |
|
ϕ2 |
X C |
Uɺ |
|
1 |
R1 |
|
|
||||
= arctg |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
UɺL |
UɺС |
ϕ1 |
|
|
Iɺ2 |
ϕ2 |
|
||
|
|
|
Iɺ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Рис. 7.12.
При параллельном соединении элементов качество резонанс-
ной цепи считается тем выше, чем больше отношение Y , которое и g
в этом случае называется добротностью. Добротность контура показывает во сколько раз ток на реактивных элементах превышает входной ток. При R1 = R2 = 0
130