Тема 4_лин пространства
.pdfТема 4. Линейные пространства и преобразования
Занятие 1.
3.50 В некотором базисе заданы вектора a1=(-2; 0; 1), a2=(1; -1; 0); a3=(0; 1; 2). Выяснить, является ли вектор a4=(2, 3, 4) линейной комбинацией векторов a1,a2,a3.
3.53 Выяснить, являются ли линейно зависимыми или линейно независимыми векторы: a1=(-7; 5;19), a2=(-5; 7; -7); a3=(-8; 7; 14).
3.56 Выяснить, образуют ли базис трехмерного пространства векторы a1=(1; 1; 1), a2=(1; 0; 1); a3=(2; 1; 2).
3.58 В базисе (е1, е2, е3) задан вектор х=(4; 0; -12). Найти координаты этого вектора в базисе (е1*=е1+2е2+е3; е2*=2е1+3е2+4е3; е3*=3е1+4е2+3е3).
3.61 Дана А матрица перехода от базиса (е1, е2, е3) к базису (е1*, е2*, е3*). Найти координаты векторов е1, е2, е3 в базисе (е1*, е2*, е3*).
( )
на дом
3.51 В некотором базисе заданы вектора a1=(2; 1), a2=(-1; 3). Найти все значения m, при которых вектор b=(1, m) является линейной комбинацией векторов a1, a2
3.54 Выяснить, являются ли линейно зависимыми или линейно независимыми векторы: a1=(1; 8;-1), a2=(-2; 3; 3); a3=(4; -11; 9).
3.57 Выяснить, образуют ли базис четырехмерного пространства векторы a1=(1; 1; 1; 1); a2=(1; 0; 1; 0); a3=(0; -1; 0; 1); a4=(1; 0; 0; 1).
3.59Найти матрицу перехода от базиса (е1, е2, е3) к базису (е1*=е2+е3; е2*=-е1+2е3;
е3*=е1+е2).
3.62 Дана А матрица перехода от базиса (е1, е2, е3) к базису (е1*, е2*, е3*). Найти координаты вектора е2* в базисе (е1, е2, е3).
( )
Найти косинус угла между векторами x и y, принадлежащими трехмерному евклидову пространству с ортонормированным базисом.
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) x |
|
4 |
, |
y |
|
3 |
|
|
б) x |
4 |
|
, |
y |
3 |
. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.20 |
Найти |
|
угол |
между |
диагоналями |
параллелограмма, |
построенного на векторах |
||||||||||
̅ |
̅ |
̅ |
|
̅ |
|
̅ .̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.26 |
Даны три вектора: |
̅ |
( |
) ̅ |
( |
) |
|
̅ |
( |
). Найти координаты вектора |
|||||||
̅ |
̅ |
̅ |
|
̅и разложить его по векторам ̅ ̅. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
на дом
3.21Определить длины векторов, на которых построен параллелограмм с диагоналями
̅ |
̅ ̅ |
̅̅̅̅ ̅ |
̅ ̅ |
|
̅. |
|
|
|
|
3.27 |
Даны |
четыре |
вектора: |
̅ ( |
) ̅ ( |
) ̅ ( |
) ̅ ( |
). |
|
Разложить вектор ̅ по векторам |
̅ |
̅ |
|
|
|
||||
|
̅ . |
|
|
|
|||||
Занятие 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.71 |
Выяснить, |
является |
ли |
оператор |
̃( ) |
линейным, |
если |
вектор |
||||
( |
) ̃( |
) |
( |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
3.78 |
Найти координаты вектора |
̃( |
), если оператор |
̃( ) задан матрицей А (в этом |
||||||||
же базисе): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый |
|
|
||||||||||
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
вектор x |
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
в вектор |
y2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
y x2 |
x3 |
|
на дом |
y |
|
|
2x3 |
|
|
. |
||
x x |
|
|
x |
2 |
|
3x |
3 |
|
||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор x двухмерного векторного пространства в вектор y по следующему алгоритму.
а) симметричное отображение относительно прямой x1 = x2 ; б) поворот на 45 по часовой стрелке;
в) симметричное отображение относительно прямой x1 = 0, а затем симметричное отображение относительно начала координат.
на дом
а) симметричное отображение относительно прямой x1 = -x2. б) поворот на угол α против часовой стрелки;
в) симметричное отображение относительно начала координат, а затем симметричное отображение относительно прямой x2 = 0.
|
на дом |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.72 |
Выяснить, |
является |
ли |
оператор |
̃( ) |
линейным, |
если |
вектор |
|
( |
) |
̃( ) |
( |
|
). |
|
|
|
|
3.79 |
Найти координаты вектора |
̃( ), если оператор |
̃( ) задан матрицей А (в этом |
||||||
же базисе): |
( |
) |
( |
). |
|
|
|
|
|