. . .

;

.

Выходной сигнал последнего звена является выходом всей системы , передаточная функция системы:

.

Таким образом, передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. Это соотношение справедливо лишь в том случае, если выход каждого звена зависит только от его входа и не зависит от выходной координаты последующего звена.

Соединение звеньев с обратной связью. Обратной связью называют передачу сигнала с выхода звена на его вход (рис. 2.4), где сигнал обратной связи х_ос алгебраически суммируется с внешним сигналом х. Причем, если суммарный сигнал x₁ определяется соотношением x₁ = x + x_oc, то обратная связь называется положительной, если x₁ = x – x_oc, т.е. сигнал обратной связи вычитают из внешнего сигнала, то обратная связь называется отрицательной.

В линии обратной связи в общем случае может быть включено звено, в котором выходной сигнал y преобразуется в соответствии с передаточной функцией W_oc(p) в сигнал x_oc. Иногда это звено может отсутствовать, т.е. W_oc(p) = l и х_ос = у.

Найдем соотношение между передаточной функцией замкнутой системы W_зс(p) и передаточными функциями отдельных звеньев W_n(p) и W_oc(p). Запишем формулы выходных сигналов каждого звена

;

;

.

Исключив из полученной системы уравнений x₁(p) и x_ос(p), получим , или

,

откуда передаточная функция замкнутой системы с положительной обратной связью: ,

передаточная функция замкнутой системы с отрицательной обратной связью: .

В реальных условиях на объект управления оказывают влияние внешние воздействия, которые называют возмущающими. Возмущающие воздействия(возмущения) вызывают отклонение регулируемого параметра от заданного значения.

Возмущения, действующие на САР, представляют собой непрерывные функции времени с различными законами изменения. В этом случае возникают трудности принципиального характера, так как заранее неизвестны законы измерения внешних воздействий, что затрудняет анализ динамики и статики САР. Для ликвидации возникших затруднений часто используют так называемые типовые, управляющие и возмущающие воздействия, которые представляют собой либо наиболее вероятные, либо наиболее неблагоприятные законы изменения управляющих и возмущающих воздействий. Например, довольно широко в качестве типовых используют воздействия полиномиального вида:

,

где n= 0, 1, 2, … – натуральные числа; – постоянные величины; 1(t) –единичная ступенчатая функция,

При n= 0 имеемединичное ступенчатое воздействие:.

При n= 1 получимлинейное воздействие:.

Графическое представление типовых воздействий представлено на рис. 2.5.

В некоторых случаях в качестве типового используется единичное импульсное воздействие следующего вида: ,

где (t) – единичная дельта-функция,

Единичная дельта-функция (единичный импульс) представляет собой математическую идеализацию импульса бесконечно малой длительности, бесконечно большой амплитуды, имеющего конечную площадь, равную единицы, т.е..

Момент приложения внешних воздействий к САР, обычно принимается за ноль отсчёта времени. При таком подходе внешние воздействия для отрицательного момента времени равны нулю. В связи с этим, в аналитические выражения для внешних воздействий в качестве множителя вводят единичную ступенчатую функцию.

Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходныеиимпульсные переходные(импульсные) функции. Графическое представление переходных и импульсных функций называютвременными характеристиками.Переходной функциейh(t) называют функцию, описывающую сигнал на выходе при условии, что на вход подано единичное ступенчатое воздействие, при нулевых начальных условиях. График переходной функции, представляющий собой зависимость функцииh(t) от времениt, называют переходной характеристикой. В том случае, если амплитуда единичного ступенчатого воздействия отлична от единицы получают разновидность переходной характеристики, которая называется кривой разгона.

Импульсной или весовой функциейw(t) называют функцию, описывающую реакцию на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. График зависимости функцииw(t) от времени называют импульсной переходной (импульсной) характеристикой.

Любое внешнее воздействие сложной формы может быть приближенно представлено в виде совокупности типовых воздействий, связанных между собой определенными математическими операциями.

Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или составной части W(p) и известен входной сигналx(t), то выходной сигналy(t) определяется следующим соотношением:.

Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изображение входного сигнала. Сигналy(t) в явном виде получим после перехода от изображенияк оригиналуy(t).

Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно , то изображение переходной функции определяется соотношением:.

Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на pи выполнить переход от изображения к оригиналу.

Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:

.

Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.

Так как , то между импульсной и переходной функциями существует следующая зависимость:

.

Импульсная и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы при нулевых начальных условиях. По ним можно определить выходной сигнал при произвольных входных воздействиях.

В работе рассматриваются следующие звенья:

1. идеальное интегрирующее: ;

2. реальное интегрирующее: ;

3. апериодическое 1-го порядка: ;

4. апериодическое 2-го порядка: ;

5. реальное дифференцирующее: ;

6. колебательное (0 < < 1): ;

7. консервативное: ;

8. звено запаздывания: ,

где k– коэффициент пропорциональности (коэффициент усиления);T– постоянная времени интегрирования, с;– время запаздывания, с; 0 << 1 – коэффициент затухания колебаний (коэффициент демпфирования).

Алгоритм выполнения работы

1. Записать передаточную функцию звена с нулевыми начальными условиями.

2. Определить вид переходного процесса с учетом единичного ступенчатого воздействия и единичной импульсной функции.

3. Построить графики переходного процесса и весовой функции при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления (см. задание).

4. Аналогичным образом проанализировать второе звено.

5. В соответствии с п. 1 – 3 проанализировать поведение системы, состоящей из двух заданных звеньев.

Пример расчета

Для звеньев и соединения звеньев, заданных передаточными функциями: ,,

построить переходные и импульсные переходные процессы при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления.

Решение

1. Передаточная функция реального дифференцирующего звена: , откуда ,

где –единичное ступенчатое воздействие, или – единичная импульсная функция, следовательно: ,.

2. Выполним обратное преобразование Лапласа (см. приложение табл. 1.3) и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия: ,

Так как между импульсной и переходной функциями существует следующая зависимость , то .

3. Строим временные характеристики звена, рис. 2.6.

Рис. 2.6. Временные характеристики реального дифференцирующего звена

4. Передаточная функция апериодического звена второго порядка: , откуда

.

Учитывая единичное ступенчатое воздействие или единичную импульсную функцию получим соответственно:

и

5. Выполним обратное преобразование Лапласа (см. приложение, табл. 3) и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия .

Импульсная функция .

6. Строим временные характеристики звена, рис. 2.7.

Рис. 2.7. Временные характеристики апериодического звена второго порядка

7. Так как передаточная функция для последовательного соединения звеньев , следовательно для последовательно соединенныхреального дифференцирующего звена и апериодического звена второго порядка передаточная функция запишется следующим образом:

, откуда

,

где k₁ – коэффициент усиления; k₂ – коэффициент усиления апериодического звена второго порядка; T₁ – постоянная времени реального дифференцирующего звена; T₂, T₃ – постоянные времени апериодического звена второго порядка.

Учитывая единичное ступенчатое воздействие или единичную импульсную функцию получим соответственно:

,

.