Входящие в определение системы множества Х и У характеризуют входные и выходные объекты и называются соответственно входным и выходным множествами, а их элементы — входами и выходами. Таким образом, представление системы в виде отношения есть представление в форме “вход — выход”. Входы функциональной системы могут рассматриваться как причины, а выходы как следствия.
Временные системы. Если элементы одного из объектов системы есть функции, например
: Т → то этот объект называют функциональным. В случае, когда области определения всех функций для данного объекта V одинаковы, т. е. каждая функция v от V является
отображением Т в A, v : Т → А, то Т называется индексирующим множеством для v, a A - алфавитом объекта Т. Если индексирующее множество линейно упорядочено, то его называют множеством моментов времени. Функции, определенные на множествах моментов времени, принято называть (абстрактными) функциями времени. Объект, элементами которого являются временные функции, называют временным объектом, а системы, определенные на временных объектах, - временными системами.
Особый интерес для исследования представляют системы, у которых элементы и входного и выходного объектов определены на одном и том же множестве: Х А и . В этом случае под системой понимается отношение.
Алгебраические системы.
Другой путь наделения объектов системы математическими структурами состоит в определении одной или нескольких операций, относительно которых V становится алгеброй. В самом простейшем случае определяется бинарная операция : → и предполагается, что в V можно выделить такое подмножество W, зачастую конечное, что любой элемент
можно получить в результате применения операции R к элементам из W или к элементам, уже построенным из элементов множества неподобным образом. В этом случае W называют множеством производящих элементов или алфавитом объекта, а его элементы - символами, а элементы объекта V - словами. Если R есть операция сочленения, то слова – это просто последовательности элементов алфавита W.
Необходимо иметь в виду, что алфавит временного объекта - это не совсем то же самое, что алфавит алгебраического объекта. Для объектов с конечными алфавитами - это обычно одни и те же множества. Но как только алфавит становится бесконечным, возникают трудности: множество производящих элементов и область функций времени оказываются различными множествами, в общем случае даже разной мощности.
Временные системы в терминах «ВХОД - ВЫХОД»
Множество моментов времени. Первая часть первого предположения о характере функционирования систем гласит: система функционирует во времени. Множество моментов
времени t, в которые рассматривается функционирование системы, обозначим Т, Т. Множество T будем считать подмножеством множества действительных чисел. В частности, оно может быть конечным или счетным. В зависимости от характера множества Т различают: дискретное, непрерывное и дискретно-непрерывное время.
На практике часто представляют интерес только такие множества Т, элементы которых располагаются в изолированных точках числовой оси. В этом случае говорят, что система функционирует в дискретном времени, например контактные схемы, конечные автоматы, вычислительные устройства ЭВМ и т. д. Вместо моментов времени t0, tl , ... часто пишут ряд натуральных чисел 0, 1,2, ..., которые называются тактами.
9. Динамические системы и их описание
Системы, в которых происходят какие бы то ни было изменения со временем называются динамическими, а модели, отображающие эти изменения, — динамическими моделями систем.
Одним из наиболее универсальных способов описания динамических характеристик систем, взаимосвязанных в процессе работы, является описание с помощью дифференциальных уравнений, о которых уже упоминалось выше. Этим способом можно описывать как линейные, так и нелинейные системы.
Передаточная функция — наиболее употребительный способ описания динамических характеристик систем с постоянными коэффициентами. Если параметры системы сосредоточенные, то ее передаточная функция имеет вид дробно-рациональной функции.
Линейные стационарные системы
Пусть 
— входной сигнал линейной стационарной системы, а 
— её выходной сигнал.
Тогда передаточная функция 
такой системы записывается в виде:
,
где 
и 
— преобразования Лапласа для сигналов 
и 
соответственно:
,
.
Дискретная передаточная функция
Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть 
— входной дискретный сигнал такой системы, а 
— её дискретный
выходной сигнал, 
. Тогда передаточная функция 
такой системы записывается в виде:
,
где 
и 
— z-преобразования для сигналов 
и 
соответственно:
,
.
10. Классификация структуры систем управления. Производящие функции выхода и состояния. Каноническое представление систем.
11. Понятие управляемости систем. Условия управляемости.
Управляемость — одно из важнейших свойств системы управления и объекта управления, описывающее возможность перевести систему из одного состояния в другое. Исследование системы управления на управляемость является одним из важных шагов в синтезе управляющих контроллеров.
Состояние 
линейной системы управляемо, если существует такой вход 
, который переводил бы начальное состояние 
в конечное состояние 
(начало
координат) за конечный интервал времени 
.
Система называется полностью управляемой, если все компоненты её вектора состояний управляемы.
12. Понятие устойчивости функционирования систем
Понятие устойчивости
Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании и проектировании линейных систем управления, является вопрос об их устойчивости. Линейная система называется устойчивой, если при выведении ее внешними воздействиями из состояния равновесия (покоя) она возвращается в него после прекращения внешних воздействий. Если после
прекращения внешнего воздействия система не возвращается к состоянию равновесия, то она является неустойчивой. Для нормального функционирования системы управления необходимо, чтобы она была устойчивой, так как в противном случае в ней возникают большие ошибки.
Определение устойчивости обычно проводят на начальном этапе создания системы управления. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, анализ устойчивости довольно прост. Во-вторых, неустойчивые системы могут быть скорректированы, т.е. преобразованы в устойчивые с помощью добавления специальных корректирующих звеньев.
Анализ устойчивости с помощью алгебраических критериев;
Устойчивая система возвращается в состояние покоя, если входное воздействие g(p) 
0 . Таким образом, для устойчивой системы решение однородного дифференциального
уравнения 
должно стремиться к нулю при t стремящемся к бесконечности.
Анализ устойчивости с помощью частотных критериев (АЧХ); Анализ устойчивости с помощью логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАХ).
13.Синтез сложных систем. Основные задачи синтеза структуры систем управления. Определение оптимальной структуры
автоматизированной системы управления
Сложными системами называются системы, состоящие из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов. К разряду сложных систем относятся крупные технические, технологические, энергетические и производственные комплексы.
При проектировании сложных систем ставится задача разработки систем, удовлетворяющих заданным техническим характеристикам.
Поставленная задача может быть решена одним из следующих методов:
методом синтеза оптимальной структуры системы с заданными характеристиками;
методом анализа различных вариантов структуры системы для обеспечения требуемых технических характеристик.
Оптимальный синтез систем в большинстве случаев практически невозможен в силу сложности поставленной задачи и несовершенства современных методов синтеза сложных систем.
Методы анализа сложных систем, включающие в себя элементы синтеза, в настоящее время достаточно развиты и получили широкое распространение.
Любая синтезированная или определенная каким-либо другим образом структура сложной системы для оценки ее показателей должна быть подвергнута испытаниям. Проведение испытаний системы является задачей анализа ее характеристик. Таким образом, конечным этапом проектирования сложной системы, осуществленного как методом синтеза структуры, так и методом анализа вариантов структур, является анализ показателей эффективности проектируемой системы.
Среди известных методов анализа показателей эффективности систем и исследования динамики их функционирования следует отметить:
аналитический метод;
метод натуральных испытаний;
метод полунатурального моделирования;
моделирование процесса функционирования системы на ЭВМ.
Оптимальность. Структура управления признается оптимальной, если между звеньями и ступенями управления на всех уровнях устанавливаются рациональные связи при наименьшем числе ступеней управления.
14.Формальное описание информационной системы
Под информационной системой обычно понимается прикладная программная подсистема, ориентированная на сбор, хранение, поиск и обработку текстовой и (или) фактографической информации. Добавление к понятию система слова информационная отражает цель ее создания и функционирования.
Формальное описание информационной системы S на языке теории множеств: S = {E,R,Z,F}, где Е — множество элементов; R — множество отношений между элементами; Z — целевая функция; F— внешние факторы.
Например, если элементарную схему коммуникации считать системой, то ее описание можно представить в следующем виде:
E = {e1, e2, e3}, где е1 — коммуникант; е2 — сообщение; е3 — реципиент;
R = {r1,2, r3,2, r1,3, r3,1}, где r1,2 — отношение коммуникант-сообщение; r3,2 — отношение реципиент-сообщение; r1,3 — отношение коммуникант—реципиент; r3,1 — отношение реципиент—коммуникант;
Z = {z1, z2, z3}, где z1 — функция связи; z2 — субъект-субъектное отношение; z3 — субъектобъектное отношение;
F = {f1, f2, f3}, где f1 — канал связи; f2 — помехи; f3 — шумы.
15.Иерархические системы управления
Иерархические системы управления (ИСУ) - это системы произвольной природы (экономические, технические, социальные, биологические) и назначения, имеющие многоуровневую структуру в организационном, функциональном или каким-либо ином плане.
Всем иерархическим системам присущи следующие особенности:
вертикальная декомпозиция, или многоуровневая иерархия;
приоритет действий верхнего уровня, или подчиненность (отношение субординации) действий нижних уровней решениям, принимаемых на верхнем уровне;
зависимость решений, принимаемых на верхних уровнях иерархии, от результатов, полученных на нижних уровнях, т.е. наличие обратных связей в ИСУ
Широкое распространение ИСУ и их универсальный характер обусловлены рядом преимуществ, которыми они обладают по сравнению с другими системами управления: