Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Курс высшей математики

.pdf
Скачиваний:
32
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
6.64 Mб
Скачать
☆

Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ)

Е. Ю. РУППЕЛЬ

КУРС

ВЫСШЕЙ

МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие Часть 2

Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов по образованию в области машиностроения и приборостроения в качестве учебного пособия для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей

Омск Издательство СибАДИ

2001

УДК 517

ББК 22.1 Р 86

Рецензенты:

Г. П. Кукин, заведующий кафедрой алгебры ОмГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор;

В. Г. Шанторенко, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ОмГУПС

Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов-заочников 2-го курса инженерно-технических специальностей.

Руппель Е. Ю. КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ. Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Элементы теории рядов: Учебное пособие. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2001. – Ч.2. –238 с.

Учебное пособие предназначено для студентов-заочников 2-го курса инженерно-технических специальностей, изучающих теоретический курс высшей математи-

ки. Пособие составлено таким образом, что студенты, наряду с ознакомлением с теоретической частью курса, получают и необходимые практические навыки решения задач.

Пособие содержит задание для двух контрольных работ, предусмотренных по плану каждого се-

местра.

Ил. 112. Библиогр.: 5 назв.

Е. Ю. Руппель, 2001

ISBN 5-93204-054-8

Издательство СибАДИ, 2001

2

Оглавление

Введение…………………………………………………………..5

Глава 1. Неопределенный и определенный интегралы…….. §1. Первообразная и неопределенный интеграл…….…6

Задачи для контрольных заданий… ……………...16 §2. Определенный интеграл………………………………

Задачи для контрольных заданий………… ………..

§3. Несобственные интегралы……………………………

Задачи для контрольных заданий………………………..

§4. Приложения интегрального исчисления…………….

Задачи для контрольных заданий………………………..

Вопросы для самопроверки………………………………

Глава 2. Дифференциальные уравнения……………………..

§1. Дифференциальные уравнения первого порядка ….

1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменны-

ми………………………………………………

2.Однородные дифференциальные уравнения первого поряд-

ка……………………………………………………..

3.Линейные дифференциальные уравнения первого поряд-

ка………………………………………………………..

Задачи для контрольных заданий ……………………….

§2. Линейные дифференциальные уравнения ………….

второго порядка с постоянными коэффициентами…….. Задачи для контрольных заданий………………………..

Вопросы для самопроверки……………………………….

Глава 3. Кратные интегралы…………………………………

§1. Двойные интегралы……………………………………

§2 Замена переменных в двойном интеграле……………

Задачи для контрольных заданий………………………...

§3. Понятие о тройном интеграле………………………..

Задачи для контрольных заданий………………………..

Вопросы для самопроверки……………………………….

Глава 4. Элементы теории рядов………………………………

§1. Числовые ряды. Основные понятия и свойства…….

§2. Признаки сходимости рядов с неотрицательными члена-

ми…………………………………………………….

Задачи для контрольных заданий………………………..

§3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды…….. Задачи для контрольных заданий………………………..

§4. Степенные ряды.Определение.Область сходимости.Основные свойст-

ва……………………………………

Задачи для контрольных заданий………………………..

§5. Ряд Тейлора……………………………………………

1.Коэффициенты Тейлора.Ряд Тейлора…………………

2.Многочлены Тейлора.Формула Тейлора……………...

3.Сходимость ряда Тейлора к порождающей ………….

функции……………………………………………………

4.Разложение элементарных функций в ряд …………..

Тейлора…………………………………………………….

§6. Примеры практического применения степенных…..

3

рядов……………………………………………………….

Задачи для контрольных заданий………………………..

§7 Разложение функций в тригонометрические ……….

ряды Фурье………………………………………………..

1.Представление функций при помощи других ……….

заданных функций………………………………………..

2.Тригонометрический ряд.Коэффициенты Фурье…….. Тригонометрический ряд Фурье…………………………

3.Разложение в ряд Фурье функций, заданных на …….

отрезке l;l …………………………………………….

4.Разложение в ряд Фурье периодических функций…..

5.Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных………....

функций……………………………………………………

Задачи для контрольных заданий………………………...

Вопросы для самопроверки……………………………….

4

«Высшее назначение математики … состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.»

Винер Н.

Введение

Всредней школе мы знакомились с основами теории уравнений и их систем; векторного, дифференциального и интегрального исчислений и их применением в решении практических задач. Цель изучения общего курса математики втузов состоит в том , чтобы углубить знания по изученным разделам и ознакомиться с некоторыми новыми разделами математики (теория дифференциальных уравнений, теория рядов и др.), которые обогащают общую культуру, развивают логическое мышление и широко используются в математическом моделировании задач, с которыми встречается современный инженер в своей деятельности.

Содержание данного учебного пособия отвечает программе курса высшей математики для втузов, рассчитанной на 510 часов.

Вучебном пособии дано систематическое изложение материала, соответствующего программе второго курса. Приводится большое количество примеров и задач, что соответствует лучшему усвоению теоретического материала.

Поскольку данное учебное пособие предназначено в первую очередь для студентовзаочников, то в нем содержится задание для двух контрольных работ (по 25 вариантов в каждой), которые должны быть выполнены по одной в каждом семестре в процессе изучения курса математики.

Контрольная работа №3

Глава1. Неопределенный и определенный интегралы

§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл

При выполнении предыдущих контрольных работ мы столкнулись с тем, что ряд физических и геометрических задач сводится к нахождению производных от функций. Наряду с этим ряд задач сводится к обратной операции–отысканию функции по ее производной. Эта операция называется интегрированием, следовательно, интегрирование должно заключаться в следующем: задана производная–требуется найти функцию.

 

Определение. Функцию y F x , заданную на промежутке x, называют первообразной

для функции

y f x , заданной на том же промежутке, если для всех x X выполняется ра-

венство

 

x f x (или, что, то же самое, равенство dF x f x dx). Например, для функ-

F

ции

f x cosx первообразной будет функция F x sin x, т. к.

 

 

 

 

 

2

3

 

sin x

cosx f x для всехx; для функции 3x первообразной будет функция

x ,

F x

т.к.

 

3x2

для всех x; для скорости V точки первообразной будет путь S , который про-

x3

шла эта точка, т. к. St V , и так далее.

5

Так как первообразная имеет производную, следовательно, она непрерывна. Но верно и

более глубокое утверждение: если функция f x непрерывна, то

она имеет первообразную. В

интегральном исчислении мы будем иметь дело только с непрерывными функциями.

Если функция

 

y F x является первообразной для функции y f x на промежутке

X , то и любая из функций вида y F x C

является первообразной для y f x на том же

промежутке. Это следует из того, что

 

 

 

 

 

 

f x 0 f x .

 

 

 

F x C

F x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нетрудно убедиться в верности и обратного утверждения: если F x есть первообразная

f x , то все первообразные для f x содержатся в формуле F x C .

f x на про-

Определение.

Совокупность всех первообразных для заданной функции

межутке

x называется неопределенным

интегралом этой

функции и

обозначается

так: f x dx (читается: ”интеграл эф от икс дэ икс”);

f x называется подынтегральной функцией;

произведение f x dx–подынтегральным выражением;

знаком интеграла;

x–переменной интегрирования.

Если F x есть первообразная для

f x , то

f x dx F x C (C–произвольная кон-

станта). Например,

 

 

cosxdx sin x C, 3x2 dx x3 C.

 

 

Из определения интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F x f x соответствует формула f x dx F x dx С в интегральном исчислении, так что в частности вся таблица производных может быть переписана в виде таблицы интегралов:

I. xndx

xn 1

 

C, где n 1;

n 1

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

II.

 

ln

 

 

x

 

 

 

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

 

 

 

 

III. axdx

 

 

 

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

 

 

IV. ex dx ex C ;

 

 

V.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

arcsin x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

arccos x C

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

arctg x C

VI.

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

arctg x C

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

VII.

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

x2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VIII. sin x dx cos x C ;

IX. cos x dx sin x C ;

dx

X. cos2 x tg x C ;

6

f x dx f t t dt ;

XI.

dx

 

ctg x C ;

2

 

 

sin

x

(x2 a)dx

XII.

x x2 a aln x x2 a C;

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

XIII.

 

 

 

dx

 

 

1

arctg

x

C ;

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x2

 

 

 

a

 

 

a

XIV.

 

 

dx

 

 

 

 

 

arcsin

x

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

XV.

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

x a

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

a

2 x2

2 a

x a

Займемся теперь основными свойствами неопределенных интегралов и правилами их вычисления.

Примем без доказательств свойства неопределенного интеграла:

f x dx f x ;

f x dx f x C;

d f x dx f x dx;

df x dx f x C.

Правила вычисления неопределенного интеграла

I. kf(x) dx k f (x) dx, (k–постоянная); II. f (x) g(x) dx f (x) dx g(x) dx ;

III. Замена переменной (подстановка) x t в интеграл производится по формуле

(1.1)

при этом говорят, что в интеграле слева сделана замена переменной (подстановка) x t .

Формулой (1.1) можно пользоваться следующим образом: подобрать функцию x u t так, чтобы, подставив вместо x подынтегральное выражение, получить более простой интеграл.

Пример 1. Найти x

 

 

x 3 dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

С целью упрощения подынтегрального выражения положим x 3 t2 . От-

 

2

 

 

 

 

dx d t

2

3 , dx d t

2

 

 

 

 

 

 

 

(t

2

 

 

 

dt ,

 

сюда x t

 

 

3,

 

 

 

3 dt ,

dx

 

)

dx 2t 0 dt, dx 2tdt .

 

 

 

 

 

 

 

3

Заменив всюду под интегралом x на (t) t2

3, получим

 

 

 

 

 

 

x

 

 

dx t2 3

 

2tdt 2t4 6t2 dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

2 t

4

dt 6 t

2

 

 

t4 1

 

 

t

2 1

 

 

2

 

5

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2

 

 

 

 

 

6

 

 

C

 

 

t

 

2t

 

C

 

 

 

 

 

 

4 1

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x 3 5 2 x 3 3 C. 5

7

 

 

 

 

 

При вычислении воспользовались формулой xndx

xn 1

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Найти cos5 x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Заметим, что

 

cos5 x cos2 x 2 cosx.

 

Целесообразно

ввести

переменную

t sin x, т.к.

 

 

cos2 x 1 sin2 x 1 t2. Тогда dt dsin x,

 

 

 

 

dt cosxdx. Заменив

 

 

dt sin x dx,

всюду под интегралом cos2 x на 1 t2 , cosxdx на dt , получим

 

 

 

 

 

cos5 xdx cos2 x 2 cosxdx 1 t2 2 dt 1 2t2

t4 dt

 

 

 

 

 

dt 2 t2dt t4 dt t

2t3

 

t5

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinx

2sin3 x

 

 

sin5 x

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении воспользовались формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b 2 a2 2ab b2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Найти

 

 

 

 

 

3e2xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e4x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Заметим,

 

 

что

 

e4x e2x 2.

Целесообразно ввести переменную e2x

t . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

de2x dt,

e2x dx dt ,

 

 

e2x2dx dt . Заменив всюду под интегралом e2xdtна

, e2x наt, по-

 

 

 

лучим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3dt

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t t

2

 

 

 

 

C

 

e

 

 

e

4x

 

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

5

 

 

 

ln

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 t2 5

 

2

 

 

t2 5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

Положим

cosx t ,

 

тогда

dcosx

dt ,

 

 

 

-sin xdx dt,

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx dx dt,

sin xdx dt. Заменив всюду под интегралом cosxна t, получим

 

 

 

 

 

 

sin xdx

 

dt

 

 

t 2 dt

t 2 1

 

C

t 1

C

 

 

1

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

2 1

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Найти

 

 

 

2sin xdx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Заметим,

 

 

что

 

sin xdx dcosx,

т.к.

 

 

 

 

 

 

 

 

Целесооб-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dcosx cosx dx sin xdx.

разно ввести переменную t cosx . Заменив всюду под интегралом sin xdxна dt ,

cosx на t ,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin xdx

2

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ln

t

 

3 t

2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 cos

2

x

 

3 t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ln

cosx

 

 

 

 

3 cos2

x

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6. Найти cos4 xdx.

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

x

 

1 cos2x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Заметим, что cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2cos2x cos2 2x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos4 xdx

1

1 cos2x 2 dx

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

dx

1

cos2xdx*)

 

1

 

cos2 2xdx

1

x

1

costdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

costdt

1

 

1 cos4x

dx

1

x

1

 

 

sint

1

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

cos4xdx

**)

 

1

 

x

 

1

 

sin 2x

1

x

 

1

 

cosudu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

4

 

4

 

8

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

1

sin 2x

1

x

 

 

1

 

sinu C

1

x

1

 

x

1

sin 4x C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

8

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*) Делаем подстановку t 2x, dt 2dx,dx

dt

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

**) Делаем подстановку u 4x, du 4dx, dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегралы вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax b

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px

2

qx d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px2 qx d

 

 

 

 

 

 

 

 

2t q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

вычисляют, используя

 

 

замену переменных:

 

t

px2

qx d

px

, откуда

x

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

p

dx

2

dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7. Найти

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4x 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Сделаем замену переменных t

x2 4x 12

 

2x 4 x 2,

x t 2,

 

 

 

 

 

 

 

2

dx d t 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx t 2 dt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заменив всюду под интегралом x на t 2 , dx на dt , получим

 

 

 

 

 

 

3x 1

 

dx

 

 

 

3t 2 1

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 4x 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2 2 4t 2 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t 7

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

3t 7

 

dt 3

 

 

 

t

dt 7

 

dt

.

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4t 4 4t 8 12

 

t2 8

 

t2 8

 

 

t2 8

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй из полученных интегралов является табличным, а первый находим подстанов-

кой t2 8 z , откуда d t2 8 dz,

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 dt dz , 2tdt dz , tdt dz . Следовательно,

 

 

 

 

 

3x 1

dx

3

 

dz

 

7

 

 

 

dt

 

 

3

lnz 7

1

 

arctg

t

 

C

x2 4x 12

 

 

 

 

t2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

z

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

8

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

ln t2 8

7

arctg

t

C

3

ln x 2 2

8

 

7

 

arctg

x-2

C.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

8

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегралы вида

sinaxcosbxdx,

sin axsinbxdx,

sin axcosbxdx вычисляются с ис-

пользованием формул

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

sinaxcosbx 1 sin a b x sin a b x ; 2

sinaxsinbx 1 cos a b x cos a b x ; 2

cosaxcosbx 1 cos a b x cos a b x . 2

Пример 8. Найти sin7xcosxdx .

 

 

 

Решение.

sin7xcosxdx

1

sin 7 1 x sin 7 1 x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

sin8xdx

sin6xdx

 

sintdt

 

cosudu

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

2

 

 

2

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cost

 

1

cosu C

 

1

 

cos8x

1

 

 

cos6x C.

 

 

16

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении воспользовались заменой переменных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

8x

t, d 8x dt, 8x

dx dt, 8dx dt

, dx

 

, и 6x u ,

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d6x du , 6dx du , dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV. Интегрирование по частям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть u u x и

v v x имеют непрерывные производные на некотором промежутке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv.

x. Найдем дифференциал производных этих функций: d uv u vdu uv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и uv

 

непрерывны, можно проинтегрировать обе части

 

 

 

Так как по условию функции u v

 

 

 

этого равенства

d uv u vdx uv dv, или d uv vdu udv, но

d uv uv C,следовательно,

u dv uv vdu . (*)

Формула (*) называется формулой интегрирования по частям.

Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение f x dx пред-

ставляют в виде произведения множителей u x и dv x : при этом dx обязательно входит в dv x . В результате получается, что заданный интеграл находят по частям: сначала находят

dv, а затем vdv. Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если задача нахож-

дения указанных интегралов более проста, чем нахождение заданного интеграла.

Пример 9. Найти xsin xdx.

Решение. Положим u x, dv sin xdx , тогда du dx , v sin xdx cosx.

По формуле (*) находим:

xsin xdx xcosx cosxdx xcosx sin x C.

Рассмотрим некоторые конкретные способы разбиения подынтегрального выражения на множители u и dv.

В интегралах вида

P x eax dx, P x sin axdx, P x cosaxdx,

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности