Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс высшей математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.03.2016

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

f 0

f x f 0

x5 .

Находим производные до порядка 4 1 5 включительно:

2xe

2x x e ;

f x e x

2xe

2x x e ;

f x e x

x 2 2x e

2x x e

2 4x x e ;

4 2x e

2 4x x e

6 6x x e ;

f 4 x 6 2x ex 6 6x x2 ex 12 8x x2 ex ;

f 5 x 8 2x ex 12 8x x2 ex 20 10x x2 ex .

Для нашего случая:

f 0 0 e

0, f

0 2 0 0 e

0 2 4 0 0

6 6 0 0

f 4 0 12 8 0 02 e0 12,

f 5 t 20 10 t t2 et .

20 10t t2 et

Следовательно,

2x2

6x3

12x4

, или

20 10t t2 et

, где

и x одного знака.

3. Сходимость ряда Тейлора к порождающей функции

Если рассмотреть функцию, которая имеет в точке x0 производные любого порядка, то-

гда для нее можно составить ряд Тейлора (4.57). Нас интересует вопрос: всегда ли составленный ряд Тейлора (4.57) сходится к порождающей его функции? Существуют функции, ряды Тейлора которых сходятся, но не к порождающей их функции или являются даже расходящимися. Ниже приведем теоремы, которые позволяют получить положительный ответ на этот вопрос.

Теорема 2. Ряд Тейлора (4.57) сходится к порождающей функции f x в некоторой ок-

рестности точки x0 тогда и только тогда, когда остаточный член Rn x в формуле Тейлора в каждой точке окрестности стремится к нулю.

Доказательство. Пусть ряд (4.57) сходится к функции f x в некоторой окрестности

x0 ,т.е. f x lim Sn x ,

где Sn x n я частичная сумма ряда (4.57), которая совпадает с многочленом Тейлора n й

степени Tn x для функции f x , т.е.			Sn x Tn x .
Тогда
lim Rn x	lim f x Tn x	lim f x Sn x
n	n	n
f x lim	Sn x f x f x 0.
n

151

	Докажем обратное, пусть		lim Rn x 0, тогда
			n
lim	Sn x lim Tn x lim f x Rn x
n	n	n
f x lim Rn x f x 0 f x ,
	n
что и требовалось доказать.
	Замечание.	Если ряд	Тейлора (4.57) сходится к порождающей функции, то

Rn x rn x , т.е. остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора.

На основании теоремы 2 сформулируем теорему, которая дает простое достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей функции и может быть применима при разложении функции .

Теорема 3. Если все производные функции f x ограничены в некоторой окрестности точки x0 одним и тем же числом, то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора функции

f x сходится к ней, т.е. имеет место разложения.

f x f x0

f x0

x x0

f x0

x x0 2

n x

x x0

(4.65)

4. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора

Ограничимся частным случаем x0 0, т.е. рядами Маклорена, которые чаще используются

на практике.

f x ex

а) Разложение функции

Заметим, что

, f

x e

. Тогда

f x e

f 0 f 0

f 0 f

Следовательно, функция ex сопоставляется ряд

Для доказательства сходимости данного ряда к порождающей функции ex нужно пока-

зать, что ex

вместе со всеми своими производными ограничена в некоторой окрестности точ-

ки x0 0.

x найдем интервал h;h , содержащий число x, и обозначим

Для данного

eh M .

Тогда для любой производной функции имеем

f n x

ex eh M .

Отсюда по теореме 3 сумма ряда сходится, т.е. равна порождающей его функции на всей числовой прямой:

ex 1	x		x2		x3	xn	(4.66)
						n!
1!		2!		3!

б) Разложение функции f x sin x

152

Найдем

производные

данной

функции:

cosx,

x cosx,

x sin x,

f x

f 4 x sin x,

f 5 x cosx,

f 6 x sin x,

f 7 x cos x,

x0 0;

f 0 sin0 0,

Вычислим

значение

функции и

ее

производных

для

0 cos0 1, f

0 sin0 0,

0 cos0 1, f

0 sin0 0,

0 cos0 1,

Таким образом получаем, если n четное, т.е.

n 2k ,

где k 0,1,2...,

то

f n 0 sin0 0.

Если n нечетное, то рассмотрим случаи:

n 4k 1,

n 4k 3,

k 0,1,2,...

Для первого случая имеем

f n 0 f

4k 1 0 cos0 1.

Для второго случая имеем

f n 0 f

4k 3 0 cos0 1.

Учитывая далее, что производные функции sin x

ограничены на всей числовой прямой,

по теореме 3 получаем

sin x 0

Отбросив члены с нулевыми коэффициентами, получим

x2n 1

sin x x

1 n

(4.67)

2n 1!

Нетрудно показать, что согласно теореме 3 sin x

равен сумме этого ряда на всей число-

вой оси, т.к. все производные функции sin x ограничены.

в) Разложение функции

f x cosx

Повторяя рассуждения и выкладки, аналогичные случаю функции sin x , получаем

cosx 1

1 n

x2n

(4.68)

2n !

Учитывая далее, что производные функции cosx ограничены на всей числовой прямой,

по теореме 3 получаем сходимость ряда (4.68) к порождающей его функции f x .

г) Разложение функции

f x ln 1 x

Для разложения функции

f x ln 1 x

в ряд Маклорена воспользуемся формулой для

суммы геометрической прогрессии

1 x x2

x3 1 n xn ,

(4.69)

которая имеет место, если

1 x

Применим

теорему об интегрируемости степенных рядов и проинтегрируем ряд (4.69) в

пределах от 0 до x.

xdx x2 dx 1 n xn dx

1 x

или

xn 1

ln 1 x

x x

x 1 n

n 1

откуда

153

ln 1 x x

1 n

xn 1

(4.70)

n 1

Если x 3, то получим числовой ряд

1 n

ln2 1

,который является сходящимся,

как гармонический.

Таким

n 1

образом, разложение (70.4) верно в промежутке 1;1 .

д) Разложение функции f x arctg x

Заменяя в (4.69)

x на x2 , получим разложение

1 x2 x4 x6

1 n x2n ,

(4.71)

1 x2

x 1;1 , получаем разложение в

в промежутке 1;1 . Интегрируя ряд (4.71) на отрезке 0;x ,

ряд функции

x2n 1

arctgx x

1 n 1

(4.72)

2n 1

полученный ряд сходится при x 1;1 . Действительно, подставим в (4.72) x 1 и, учитывая,

что arctg1	, получаем разложение	1	1		1		1	1 n 1	,
								2n 1
4	4	3		5		7

которое является сходящимся числовым рядом и может быть использовано для приближенного вычисления .

Замечание. При интегрировании

ряда (4.71)

воспользовались

формулой

arctgx .

01 x

е) Разложение функции f x 1 x α,

где произвольное действительное число. Нетрудно показать,

что функция 1 x в интер-

вале сходимости 1;1 представима рядом

1 x 1

1 2

1 2 n 1

(4.73)

Более того, можно показать, что при 0 разложение (4.73) верно и в обоих концах интервала 1;1 , т.е. имеет место на отрезке 1;1 , а при 1 0 в правом конце, т.е. на полуин-

тервале 1;1 .

Определение 6. Ряд (4.73) называется биноминальным рядом.

§6. Примеры практического применения степенных рядов

1.Вычисление значений функций

Пример1.Вычислить число e, т.е. значение функции ex при x 1, с точностью до 0,001 (если известно, что e 3).

Решение. Имеем

154

ex 1

Тогда

ex 1

причем абсолютная погрешность этого приближения равна

n 1, где

. При x 1 получаем

n 1 !

e 1

При этом h

1n 1

, где 0 t

n 1 !

но так как et

3, то h

n 1 !

Число n определим из равенства

0,001.

n 1 !

Откуда

10 3, т.е.

n 1 ! 3 103

3000.

n 1 !

то 5 1 ! 1 2 3 4 5 6 720 3000.

Если взять n 5,

Возьмем n 6, 6 1 ! 1 2 3 4 5 6 7 5040 3000.

Следовательно,

e 1 1

5! 6!

2 3

2 3 4

2 3 4 5

2 3 4 5 6

2 6

24 120

720

2.718.

Пример 2. Вычислить cos18

с четырьмя верными знаками.

Решение. По формуле (4.68) §5 имеем

cosx 1

1 n x2n

2n !

Так как угол 18

в радианах (с точностью до 10 5 ) равен

0,31416, то

180

cos18 1 0,31416 2

0,31416 4

0,31416 6

2 3 4 5 6

2 3 4

Для знакочередующихся рядов абсолютная погрешность при замене суммы ряда некоторой его частичной суммой не превышает модуля первого отброшенного члена. Поэтому вычисление слагаемых проводим до тех пор, пока слагаемое по модулю не станет меньше 0,0001. Непосредственной проверкой убеждаемся, что

0,31416 6 0,31416 6 0,0001, значит, достаточно ограничиться тремя слагаемыми

2 3 4 5 6

720

155

cos18 1 0,31416 2 0,31416 4 0.901709.

22 3 4

2.Интегрирование функций

Пример 3. При изучении теории вероятности важную

роль играет функцияF x	1		x	x2
				2 dx,
			e

	2
		0

называемая функцией Лапласа, или интегралом вероятностей. Вычислить интеграл непо-

средственным интегрированием нельзя,

так как e 2 dx не выражается через элементарные

функции.

Заменяя в разложении (4.66)

x на

, получаем

n 1

e 2 1

26 3!

22nn!

Это разложение, как и разложение для ex , имеет место на всей числовой оси, поэтому его можно почленно интегрировать, т.е.

															x	x2								x					x2						x4						x6		1 n 1x			2n
															x									x					x2						x4						x6		1 n 1x			2n
																	2
															e					dx				1					2				2		4		2!			6			2	2n	n!		dx
														0										0					2				2				2!		2			3!	2		n!
	x		1 x					2						1					x		4						1				x		6
dx						x				dx									x			dx									x			dx
dx			2			x				dx				24 2!					x			dx					263!				x			dx
	0		2		0									24 2!					0								263!				0
	n 1 x																				x		3						x	5								x	7
	1					x2ndx x															x								x									x
	224					x2ndx x																						24 2!5
	224	n!			0																2 3							24 2!5									2	6 3!7
	1 n 1x2n 1

	22nn! 2n 1
		Тогда
		F x								1								x		3					x		5							x		7
										1					x			x							x									x
															x										4								6
											2							2 3					2		4	2!5						2	6		3!7
											2							2 3					2			2!5						2			3!7
									n 1			x	2n 1
				1								x										,
																						,
					2		2n		n! 2n 1
					2				n! 2n 1

сходящимся на всей числовой прямой оси. Вычислить значение функции F x очень просто, так как ряд быстро сходится.

3.Вычисление определенного интеграла

156

Пример 4. Вычислить интеграл

11 cos2x2

с погрешностью

h 0,0001,

где при

значение подынтегральной функции принимается

x 0

равным единице.

Решение. Из формулы (4.68), заменяя x на 2x2, получаем

cos2x2 1

4x4

24 x8

26 x12

1 n 1

22n x4n

2n !

1 cos2x2

4x4

24 x8

26 x12

1 n 1

22n x4n

2n !

Делением обеих частей последнего равенства на x находим

1 cos2x2

4x3

24 x7

1 n 1

22n x4n 1

2n !

Это разложение, как и разложение для cosx, имеет место на всей числовой оси, поэто-

му можно почленно

интегрировать:

1 cos2x2

4x3

1 2

4 x7

4n 1

4 x

1 n 1

6!12

2n !

2!4 0

4!8

28x16

2520

8!16

12 135

Данный ряд является знакочередующимся, для которого остаток ряда по модулю не превосходит модуль первого члена остатка ряда. Таким образом, вычисления проводятся до тех пор, пока слагаемое по модулю не будет меньше 0,0001.

Так как h	r			1	0,0001, то достаточно взять
				1

	n		2520
			2520
				11 cos2x		2	dx	1	1	1	0,1657

					x			2	12	135
					x			2	12	135
		0

4.Интегрирование дифференциальных уравнений

Рассмотрим теперь применение рядов Тейлора к решению дифференциальных уравнений. Пусть заданы дифференциальное уравнение и начальные условия, определяющие частное решение. Допустим, что решение уравнения в окрестности точки, в которой заданы начальные условия, можно разложить в степенной ряд,

y a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n

Продифференцируем этот ряд с неопределенными пока коэффициентами столько раз, каков порядок уравнения.

Подставляя затем в уравнение вместо неизвестной функции и ее производных соответствующие ряды, мы получим тождество, из которого и определим неизвестные коэффициенты ряда. При этом первые коэффициенты ряда определяются из начальных условий. Если, далее,

157

доказать, что полученный ряд сходится, то можно быть уверенным, что он выражает искомое решение.

Достаточно большое число членов ряда дает нам как угодно хорошее приближенное выражение решения в виде многочлена.

Рассмотрим указанный метод на примерах.

Пример 5. Найти решение дифференциального уравнения y xy 0, удовлетворяющее начальным условиям y 0 0, y 0 1.

Решение. Ищем решение в виде ряда

y a0 a1x a2x2 anxn

Дифференцируем полученный ряд дважды, получаем y a1 2a2x 3a3x2 nanxn 1

y 2a2 3 2a3x 4 3a4x2 n n 1 an x x0 n 2

Подставляем в дифференциальное уравнение вместо y и y их разложения, получаем тождество

2a2 3 2a3x 4 3a4x2 n n 1 an x x0 n 2

a a x a							2	x2 a								n		xn
0			1				2									n																												x,					2a2 0,
		Приравниваем											коэффициенты																		при				одинаковых				степенных					x,		находим			2a2 0,
3 2a3 a0 , 4 3a4 a1, 5 4a5 a2,																														, n n 1 an an 2,											an 3
		Откуда a							2		0, a				3						a0		,	a	4				a1			,	a	5		a2	, , a				an 3			,
																													a1							a2

																					2 3								3 4							5 4			n		n n 1
		Найдем a0, a1											из начальных условий: a0y 0 0,
a1y 0 1.																1												0									0							1					0
Тогда			a	3	0,						a	4				1				,			a	5				0			,		,		a	6	0			,	a	7		1			,	a	0	,
				3								4		3 4										5			5 4									6	2 3 5 6					7	3 4 6 7					8	4 5 7 8
a9				0							, a10											1								.
a9	2 3 5 6 8 9										, a10						3 4 6 7 9 10													.											1
		Нетрудно заметить a3m 1																						a3m 0,									a3m 1								1				.
		Нетрудно заметить a3m 1																						a3m 0,									a3m 1					3 4 6 7 3m 3m 1							.
		Значит																																1
y x			1		x	4						1					x		7															1
y x			3 4		x					3 4 6 7							x									3 4 6 7 3m 3m 1
			3 4							3 4 6 7																3 4 6 7 3m 3m 1

С помощью признака Даламбера легко убедиться, что этот ряд является сходящимся на всей числовой прямой и, следовательно, представляет искомое решение дифференциального уравнения при всех x.

Заметим, что порядок уравнения нисколько не влияет на метод решения его при помощи рядов. Данный метод решения позволяет решить и нелинейные дифференциальные уравнения, которые не решаются в квадратурах, т.е. непосредственным интегрированием уравнения.

Пример 6. Найти решение дифференциального уравнения y xy2 1, удовлетворяю-

щее начальному условию y 1 0.

Решение. Это уравнение нелинейное, и поэтому подстановка вместо y его разложения

в ряд

y a0 a1 x 1 a2 x 1 2 an x 1 n

158

привела бы к сложным уравнениям для определения коэффициентов. Поэтому обычно поступают иначе.

Продифференцируем уравнение несколько раз подряд, рассматривая y как функцию от

yy2 2xyy ,

y 2yy 2yy 2x y 2

2xyy 4yy 2x y 2

2xyy

4yy

2yy

2xyy

4 y

2 y

4xy y

2xy y

6yy

2xyy

6 y

6xy y

Подставляя во все уравнения и во все производные x 1 и учитывая начальное условие y 1 0, последовательно найдем:

		2				2		2
	1 1y		1 1 1,		1 y			1 0 2 0 1 0,
y				y			1 2 1 y 1 y

y 1 4y 1 y 1 2 1 y 1 2 2 1 y 1 y 1

4 0 1 2 1 1 2 1 0 0 2,

yIV 1 6 y 1 6 6 y 1 y 1 2 1 y 1 y 1

6 1 6 0 0 2 1 0 2 6,

Следовательно, искомое решение записывается в виде ряда Тейлора в точке x0 .

y x 1 x 1 3 x 1 4

3 4

Полученный многочлен в окрестности точки x 1 дает как угодно хорошее приближенное выражение решении.

Задачи для контрольных заданий

Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд. Обеспечить абсолютную погрешностьh 0,001:

	0,1								0,1						2				1								2
	0,1	e 5x2 dx;							0,1	sin10x					2				2	1 cosx							2
7.01								7.02		sin10x						dx;		7.03		1 cosx										dx;
7.01								7.02								dx;		7.03												dx;
	0								0					x					0			x4
															x
	0,2 e 5x			2	1				0,9 ln 1										1		x3
				2					0,9 ln 1										1
															5				2
7.04							dx ; 7.05										dx;	7.06	e				dx;
7.04			x				dx ; 7.05							x			dx;	7.06	e				dx;
	0		x						0					x					0
	0								0										0
	0,4								1										0,1			2x
	0,4								2										0,1		e	2x			1
7.07		sin3x2 dx;						7.08	cos5x3 dx;									7.09			e				1				dx;
7.07		sin3x2 dx;						7.08	cos5x3 dx;									7.09					x						dx;
	0								0										0				x
	0								0										0
					x				3 x				2						2					2
	0,6 ln 1								3 x										2					2
					6														1				x
7.10					6	dx; 7.11			e			90dx;						7.12	sin				x			dx;
7.10			x			dx; 7.11			e			90dx;						7.12	sin							dx;
	0		x						0										0			2
	0								0										0
	0,1								0,3		e 3x2 dx ;								12		e	x2			1
7.13	cos5x2 dx;							7.14										7.15			e				1			dx;
7.13	cos5x2 dx;							7.14										7.15										dx;
	0								0										0			10x
	0								0										0

159

	1			x		2							0,4							2			0,2					4
	2			x										1 cos7x											x
	2
7.16	e				5 dx ;							7.17									dx; 7.18			sin						dx;
7.16	e				5 dx ;							7.17					x2				dx; 7.18			sin						dx;
	0												0				x2						0				4
																		x
	1					x		2					0,2		ln 1								0,1e 5x				2		1
	1														ln 1												2
	2																	2
7.19		cos								dx ;		7.20								dx;		7.21									dx;
7.19		cos								dx ;		7.20					x			dx;		7.21		x2							dx;
	0					5							0				x						0	x2
	12		2						4				12e x3				1						12 ln1 x							2
7.22		x			cosx						dx;	7.23							dx;			7.24									dx;
7.22		x			cosx						dx;	7.23			x	2			dx;			7.24		x		2					dx;
	0												0		x								0	x
	12 e 2x2							1
7.25											dx .
7.25						x	2				dx .
	0					x

Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданными условиями.

8.01	y	yy				x	2	; y 0 1,
									y 0 1.
8.02	y x2y2 1, y(0) 1.
8.03 y ey xy, y(0) 0.
8.04	y 2xy, y(1) 1.
8.05,	y			y		, y 2 2.

				x
8.06	y cosx y2 , y 0 1.
8.07	y ex				y2 , y 0 0.
8.08	y	y	2			x	2	; y 0 1,		0 1.
									y

8.09y yy x2 ; y 0 1, y 0 1.

8.10y y y2 , y 0 3.

8.11y 2ey xy, y 0 0.

8.12y sin x y2 , y 0 1.

8.13y ex y , y 0 4.

8.14y x2 y2 , y 0 2.

8.15y sin x 0,5y2 , y 0 1.

8.16y 2ey xy, y 0 0.

8.17y x x2 y2 y 0 5.

8.18y yy x2; y 1 0, y 1 1.

8.19y xy2 0; y 0 0, y 0 1.

8.20y e2x y , y 1 1.

8.21y sin x cosy 0; y 0 0, y 0 1.

8.22 y		xy e	x	0;	y 1 0,		0	1.
						y

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.20191.57 Mб5кратные интегр..doc
#
02.05.2015202.24 Кб4кредит.doc
#
02.05.20156.95 Mб244КСС 2013 - на рецензию.doc
#
17.12.2018113.57 Кб5Культурология,родненькая.docx
#
02.05.2015828.18 Кб17культурология.rtf
#
10.03.20166.64 Mб32Курс высшей математики.pdf
#
02.05.201514.85 Mб209Курс лекций по начерталке.doc
#
29.07.2019218.62 Кб0Курс моих лекций по психологии и пед.doc
#
26.11.2019229.89 Кб9курс. глина.doc
#
02.05.2015511.49 Кб17курсавик 1.doc
#
02.05.20151.57 Mб35Курсач Руппель.doc