В различных случаях

1.Система, состоящая из двух материальных точек, соединенных между собой стержнем, имеет пять степеней свободы. Как известно, положение двух точек определяется шестью координатами ( x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂), между которыми существует одно соотношение – уравнение связи

( x_{1 } x₂ )² + ( y_{1 } y₂ )² + ( z_{1 } z₂ )² = L² ,

выражающее условие постоянства квадрата расстояния между ними. Следовательно, здесь

n= 2,h= 1 и по формулеs = 3n – h= 32 – 1 = 5.

Для материальной точки, движущейся по поверхности, s= 2, а материальная точка, движущаяся по линии, имеет одну степень свободы. Действительно, линия в пространстве описывается двумя уравнениями, т.е.h= 2 иs = 3n – h = 31 – 2 = 1.

3. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, ибо оно обладает независимыми друг от друга возможными поступательными перемещениями по трем взаимно перпендикулярным осям и тремя независимыми друг от друга возможными поворотами вокруг трех взаимно перпендикулярных осей.

4. Твердое тело, имеющее одну закрепленную точку, обладает тремя степенями свободы.

Твердое тело с двумя неподвижными точками имеет одно возможное перемещение – поворот вокруг оси, проходящей через эти точки, т.е. одну степень свободы.

2.5. Несвободное движение системы материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из nматериальных точек, или механическую систему, положение которой определяетсяnточками. Положение каждой материальной точки определяется тремя координатами; положение абсолютно твердого тела – тремя точками, не лежащими на одной прямой, или шестью параметрами. Если на систему наложены связи, то координаты материальных точек и точек, определяющих положение абсолютно твердого тела, должны удовлетворять дополнительным уравнениям – уравнениям связей. Число параметров, определяющих положение абсолютно твердого тела, на которое наложены ограничения, уменьшается. Например, положение тела с одной неподвижной точкой определяется тремя углами; если у тела закреплены две точки, то его положение определяется одним углом и т.д.

Связи, наложенные на механическую систему, представляют собой некоторые материальные тела, состояние движение которых считается известным, заданным. Тела могут быть абсолютно твердыми, либо деформирующимися с известным законом изменения формы. Во всех случаях будем считать, что движение рассматриваемой механической системы не влияет на поведение связей.

Виртуальным перемещением системы называется любая совокупность виртуальных перемещений всех ее точек.

Для системы, состоящей из n точек, имеем 3n вариаций декартовых координат. Если на систему наложено h голономных удерживающих связей, то вариации координат точек системы должны удовлетворять следующим условиям:

(2.12)

Для системы с голономными связями число степеней свободы равно числу независимых обобщенных координат. В каждый момент времени положение системы может быть определено как в декартовых, так и в обобщенных координатах. Поэтому возможные и виртуальные перемещения любой точки системы выражаются через ее обобщенные координаты. Для системы сs= 3n -h степенями свободы радиус-вектор каждой точки является функцией обобщенных координат и времени Следовательно, виртуальное перемещение можно вычислить как полный дифференциал функции при фиксированном времени:

(2.13)

Таким образом,

(2.14)

где (2.15

Элементарное возможное перемещение точки определяется как полный дифференциал функции ,но время при этом не фиксируется:

(2.16)

Дальнейшая теория излагается для неизменяемой системы с голономными нестационарными удерживающими связями (2.1):

Механическая система, расстояние между точками которой в процессе ее движения не изменяется, называется неизменяемой.