Ильинков, В. А. Моделир_систем_телеком_лаб_практ_Ч_1_

0(t)).

Проанализировать

и объяснить наблюдаемые

изменения функций

S

и t в зависимости от выбора параметра T .

0

3.3.2 Моделирование сигнала f1T (t)

3.3.2.1 Проанализировать математическую

модель

финитного

сигнала

f

f t , 0,T

f t – модель из таблицы 1.1. В системе MathCAD

t

1

, где

1T

0, ,0 , T,

1

Р

запрограммировать модель

f1T t , при значениях параметров выполняемого

варианта (см. табл. 1.2) на отрезке времени T,2T с шагом t 0,001T

рассчи-

И

тать отсчетные значения функции f1T t , построить ее график.

1T

У

3.3.2.2 С помощью прямого преобразования (3.1) Фурье найти спектраль-

S

и аргумента

спектр льной плотности, создать файл с массивом

1T

1T

зок

Б

отсчетных значений, построить гр фи и функций

S1T

и 1T .

е

интегрирова-

3.3.2.4 Взять частотный отр

аF,F и шаг f F/1000

т

T,2T , ис-

ния, по запрограммированной мод ли (3.2) на временном отрезке

пользуя файл отсчетных знач ний

S1T

и 1T , с шагом t 0,001T рас-

о

построить ее

считать отсчетные значения аппроксимирующей функции f t ,

и

1T

график, сравнить с график м по п. 3.3.2.1.

f t , измерить: длительность

3.3.2.5 Используя график функции

ф

1T

большую (нормированную)

амплитуду max выбросов на плоской части им-

и

пульса (влпроцентах); эффективную длительность эф переходного процесса.

б3.3.2.6 Повторить п. 3.3.2.3 и 3.3.2.4 при значениях параметра F , равных

10 T , 20 T,

40 T и 80 T . Оценить степень приближения аппроксимирующей

функции f

t к исходной

f

t (на отрезках 0, , T,0 , ,2T ) в зависимости

1T

1T

Бот выбора параметра F . По результатам измерений построить графики зависи-

1. Цель работы.

Р

2. Математическая модель и график исходного сигнала 0 t , графики

(при

различных

И

-

рующих

0

ГУ

3. Математические модели и графики исходных сигналов

f1T (t) f4T (t),

их амплитудных

S1T

S4T

и фазовых 1T 4T

спектров,

ап-

Б

(t).

проксимирующих (при различных значениях F ) функций

f (t) f

1T

4T

4. Результаты измерений по п. 3.3.2.5, гр фи и з висимостей по п. 3.3.2.6.

5. Выводы.

а

к

3.5 Контрольные вопросы и задания

е

1. Представляются ли ин егралом (3.1) Фурье сигналы

A cos

0

t

0

, 0,

f

t T , 0,

f t

1

т2

?

f

2

t

1

0, ,0

0, ,0

2.

о

S

непериодического сигнала

Доказать, что амп

тудный спектр

и

– нечетной функциями частоты.

является четной, а фазовый спектр

3. Доказать взаимосвязьл

(3.5) спектральной плотности S и спектраль-

ных коэфф ц ентов Cn ряда Фурье.

4.

б

При как х условиях дифференцирующая и интегрирующая цепи вы-

полняют симинимальной погрешностью соответствующие математические опе-

рации над сигналами? Доказать.

Б5. Доказать: свойство сдвига по времени; свойство изменения масштаба

13.

И

Объяснить изменения формы сигнала 0 t и его амплитудного спек-

тра S в зависимости от изменения параметра T .

Р

14.

У

-

Проанализировать модели f1T (t) f4T (t) с

позиции появления

Г

15.

а

Установить эмпирические зависимости ф 1(F), max 2(F) и

эф 3(F).

к

Б

16.

Дать

сравнительную

оцен у точности представления сигналов

е

f1T (t) f4T (t). Аргументацию

f1T (t) f4T (t) аппроксимирующими функциями

мат

матич ского моделирования.

подтвердить результатами

17. Найти спек ральную плотность и энергию сигналов:

cos t,

2 ,

2

Asin t, 0,

f

и

0

0 ;

f

t

0

0 ;

t

0

2

1

0,

2 0, 2 0

0, 0, 0

f3

1, о2, 2

;

f

4

2U

0

t T, T 2,T 2

;

t

t

б

0, 2, 2

0, T 2,T 2

2U0 t T 2

T, 0,T

U

, 0,T

2

и

t

0

, T

f

;

f

t

U

4,0 ;

л

6

0

5

0, 0,T

2

Б

0, T 4,T

f7

t f4 t cos 0t;

f8 t f5 t sin 0t .

18. Найти спектральную плотность сигналов:

f1 t 0,25, , ;

f2 t cos 0t, , ;

4.2 Краткие теоретические сведения

Р

Моделирование сигналов СТК на комплексной плоскости получает все

большее распространение. Известно [1, 6], что для преобразования по Лапласу

И

комплекснозначная функция f(t ) (сигнал) должна отвечать трем условиям:

удовлетворять условию Гёльдера, которое по смыслу соответствуетУ

усло-

виям Дирихле;

Г

t ( , )

возрастать не быстрее показательной функции, т.е. для всех

иметь такие постоянные M 0

и 0

0

, что

f(t )

0t

показатель

БMe , где 0

роста функции

f(t );

а

удовлетворять условию

f(t ) 0

при

t 0

(оно всегда обеспечивается

переходом от функции

к

f(t ) к функции (t ) (t )f(t ), где (t) функция

Хевисайда).

е

Функцию

f(t ), отвечающую э им условиям, часто называют функцией-

оригиналом. Важно

, ч

все сигналы, используемые в практике моде-

лирования СТК, описываются функциямит

-оригиналами, т.е. преобразуемы по

Лапласу.

о

Прямое преобразован е Лапласа ставит во взаимно однозначное соответ-

ствие f(t ) F( p)

отметить

f(t ) функции времени изображе-

исходному сигналу

ние

л

бF( p) f(t )e ptdt .

(4.1)

и

0

j строго

Изображение

F( p) функция комплексного переменного p

Б

p

На

практике область определения распространяют и на полуплоскость

Re

p 0, где функция F( p) имеет особые точки [6].

Обратный переход от изображения F( p) к сигналу (оригиналу)

f(t )

выполняется с помощью обратного преобразования Лапласа

1

a j

f(t )

F( p)eptdp, (a 0 ).

(4.2)

2 j a j

В практике моделирования СТК широко применяют следующие извест-

ные свойства преобразования Лапласа [1].

1.Свойство

линейности.

Если

fi(t ) Fi( p)

Р

N ),

то

(i 1,

N

N

f(t ) Ai fi(t ) F( p) AiFi( p)

(Ai

постоянные коэффициенты), т.е.

i 1

i 1

fi(t )

У

линейной суперпозиции оригиналов

соответствует линейная суперпози-

ция их изображений Fi( p).

Г

И

2.Теорема

смещения.

Если

f (t ) F ( p),

то

f

(t ) f

(t )ep0t

1

Б0

2

1

F2( p) F1( p p0 ) ( p0

0

j 0

произвольное комплексное число),

т.е.

умножению оригинала

f1(t )

кна

соответст-

на комплекснозначную функцию ep0t

вует “смещение” его изображения F( p)

p .

3.Теорема

подобия.

Если

f1(t ) F1( p),

то

f2(t ) f1(nt )

1

p

е

F ( p)

F

.

n

2

1

n

т

функция f1(t)

яв-

4.Дифференцирование оригинала. Если при t (0, )

о

ляется дифференцируемой (в окрестности любой точки раскладывается в ряд

Тейлора)

и

f (t ) F ( p),

то

f

(t ) f ( n)(t )

1

1

2

1

F2

(p) p

n

F1(p) p

n 1

f (0) p

n 2

(n 1)

(0),

где

f (0) f

л

f (k )(

0)

lim f (k )(t ),

k 0,

n 1. Очевидно, если f (k )(0) 0 (k 0, n 1),

б

t

0 0

то f

(t) f

(n)(t)

F (p) pnF (p),

т.е.

n-кратное дифференцирование ори-

и

1

2

1

1

1

2

Б

n

бражен я на множитель p

дифференцирования оригинала.

5.Дифференцирование

изображения.

Если

F ( p) f (t ),

то

F ( p) F( n)( p) f

2

(t ) ( 1)ntn f(t ), т.е.

n-кратное

дифференцирование

2

1

изображения соответствует умножению оригинала на множитель ( 1)n tn

диф-

бражения

Г( p)

функции

(t)

Хевисайда,

можно

получить:

f(t ) tn

F( p) n!/ pn 1.Это соотношение важное следствие из свойства

6.Интегрирование

оригинала.

Если

f1(t ) F1( p),

то

t

f2(t ) f1(t )dt F2( p) F1( p)/ p, т.е.

интегрирование оригинала соответ-

0

ствует умножению его изображения на множитель 1/ p

интегрирования ориги-

нала.

F1( p) f1(t ),

7.Интегрирование

изображения.

Если

то

Р

F2( p) F1( p)dp f2(t ) f1(t )/ t , т.е.

интегрирование изображения соот-

p

И

ветствует умножению оригинала на множитель 1/ t интегрирования изображе-

ния.

F1( p) f1(t )

8.Теорема

умножения

изображений.

Если

и

t

Г

F ( p) f

(t ), то

F( p) F ( p)F ( p) f(t )

Б

2

2

1

2

1

2

У

0

ведению изображений соответствует свертка оригиналов. В практике модели-

а

рования особое значение имеет следствие из теоремы умножения изображений,

к

две симметричные формы которого образуются с дополнительным использова-

нием свойств линейности и дифференциров ния оригинала:

е t

'

t

pF (p)F (p) f (0)f (t )

f ' ( )f (t )d ;

1

2

1

2

1

2

четыре известные

Из последних выражений неп

средственно вытекают все

о

0

pF1(p)F2(p) f2

(0)f1(t )

f2( )f1(t )d .

0

разновидности интеграла Дюамеля [1].

f1(t ) F1( p),

t0 0

9.Теорема

запаздыван я.

Если

то

при любом

f

(t ) f

(t t

б

, т.е. запаздыванию оригинала (сигнала)

2

0

) F (иp) F ( p)e pt0

1

2

1

p

t 0 0

налами

соответствует умножениелего изображения на множитель

e pt0 запаздывания.

10.Предельные соотношения. Если f(t ) и её производная f ' (t ) являют-

ся

Б

и

f(t ) F( p),

то

lim

pF( p) lim f(t ) f(0) и

ориг

lim pF( p) lim f(t ) f( ),

где

функция

pF( p)

сходится

при

p 0

t

p ( p 0)

равномерно относительно

arg p

в полуплоскости Re

p 0

аналитичности функции F( p).

широком смысле

f t f t T

t и периодические в узком смысле

f (t), 0,

сигналы [1]. Они имеют одинаковое изображение

f1(t) 0, ,0

F( p) F ( p)

FT ( p)

.

(4.3)

1

1 e pT

T

где FT (p) fT (t)e ptdt изображение так называемого базового

сигнала

0

Р

f (t), 0,T

,

которое аналитично во всей открытой комплексной плоско-

fT (t) 0, 0,T

1.Изображение периодического (в широком и узком смысле) сигнала об-

Г

разуется умножением изображения FT ( p) соответствующегоИбазового сигнала

на множитель 1 e pT 1 периодичности.

У

2.Особыми точками функции F( p) являются бесконечное число простых

к

плоскости Их положение здесь определяетсяБтолько периодом T повторения

сигнала и не зависит от его формы.

е

F( p) к самому сигналу (ориги-

В общем случае переход от изображенияа

б

и в бесконечно удаленной точке

аналитическойив полуплоскости Re p 0

л

a j

lim

F( p) 0

и если абсолютно сходится интеграл

F( p)dp, то

p

pt

Б

и

res F( p)ept ,

a j

f(t )

(4.4)

pk

l

1

A(p)

)nk ept

nk 1

f (t)

lim

(p p

k

,

(4.5)

k 1(nk 1)!p pk B(p)

l

A p

k

f t

epkt

,

(4.6)

k 1B pk

Р

где B' ( pk ) B' ( p) p pk .

У

Вычисление вычетов, основанное на операции дифференцирования, вы-

полняется достаточно просто, особенно в случае простых полюсовИ(см. выра-

жение (4.6)). Поэтому обобщенная теорема разложения широко используется на

практике.

Если применить к изображению (4.3) периодическогоГсигнала обобщен-

а

ную теорему разложения, то можно получить представление этого сигнала в

форме ряда Фурье. Последнее с учетом простоты механизмаБ

(4.6) вычисления

к

вычетов делает возможным разложение в ряд Фурье с помощью преобразова-

ния Лапласа.

е

4.3 Порядок выполнения

4.3.1 Математическое моделирование сигналов

f1T (t) и

f1(t)

и

работымые теоретические сведения. Проанализировать

4.3.1.1 Изучить необх д

л

о

f t , 0,T

1T

математическую моде ь ф н тного сигнала

f

t

1

, где f t

1T

0, ,0 , T,

1

б

модель из та лицы 1.1, представить его графически. Используя теорему запаз-

дывания и свойство линейности, найти в общем виде изображение F

p сиг-

нала f1T (t). Получить конкретную модель

F1T p ,

подставив значения пара-

Б

метров выполняемого варианта (см. табл. 1.2).

4.3.1.2иПроанализировать математическую модель периодического сигна-

ла f1 t (см. табл. 1.1). Получить его изображение

F1 p при значениях пара-

метров выполняемого варианта. Найти особые точки функции F1 p ,

изобра-

вать финитный f1T (t) и периодический f1 t сигналы, проанализировать (ав-

томатически сформированные) соответствующие им

изображения F1T p и

F1 p , сравнить последние с конкретными моделями

F1T p

и

F1 p по п.

4.3.1.1 и 4.3.1.2, записать параметры моделей сигналов

f1T (t)

и

f1 t в опера-

тивную библиотеку.

4.3.1.4 Используя конкретную модель F1T p и взаимосвязь прямых пре-

образований Фурье (3.1) и Лапласа (4.1), системе MathCAD запрограммировать

модель S1T (спектральную плотность сигнала

И

f1T (t)), на частотном отрезке

80

T,80 T

при значении параметра T по выполняемому вариантуР

с шагом

f 80/(1000T) рассчитать

отсчетные

значения

модуля

S1T

и

аргумента

1T спектральной

Г

S1T

функций

и

плотности, построить графики

1T .

а

У