Ильинков, В. А. Моделир_систем_телеком_лаб_практ_Ч_1_

n(t)

sin m(t n t)

, t m , n , ,

(2.1)

m(t n t)

Р

образующие ряд, обладают важными отличительными свойствами [1, 3]:

по сравнению с функциями всех других ортогональныхИсистем имеют

У

одинаковую форму и отличаются друг от друга только расположением на оси

абсцисс (времени);

являются четными относительно точки t Гn t и принимают нулевые зна-

чения через равные интервалы t времени, благодаря чему широко используются

при синтезе устройств коррекции формы телекоммуникационныхБ

сигналов;

имеют модуль

S ( )

спе тр льной

плотности, равный 1 2 fm при

а

m и нулю при

m, т. харак. теризуются равномерным и ограничен-

ным по частоте амплитудным сп ктром, что позволяет построить на их основе

эффективные измери ельные сигналы;

е

) является ор-

система функций n(t )

на бесконечном интервале ( ;

тогональной с

чным весом, при этом

n(t )

2 t.

т

С учетом зложенных свойств сигнал, ограниченный по спектру верхней

граничной частотойедини fm, в любой точке t , представляется рядом Ко-

тельникова [1]:

л

sin m t n t

б

f t

Cn

,

(2.2)

m t n t

n

где Cn f(n t ).

и

(финитный сиг-

Б

Очевидно, сигнал, имеющий конечную длительность с

ми отрезка его существования отсчетные значения

f(n t ) равны нулю. С уче-

том этого можно определить энергию

с

N

Э f

2 t dt t f 2(n t)

(2.3)

0

n 0

P

Э

с

1

с f

2 t dt

1

N f 2

(n t)

(2.4)

cp

с

0

N n 0

континуального финитного сигнала,

где 0, c совмещенный левой границей

с началом координат отрезок существования;

N с

t 2 с fm так называе-

средняя мощность численно

равна среднему квадрату отсчетных

значений

f(n t ).

Р

2.3 Порядок выполнения работы

2.3.1 Математическое

и физическое моделирование базового

сигнала

0(t)

И

2.3.1.1 Изучить необходимые теоретические сведения. Проанализировать

математическую модель 0(t) n t n 0 (см. формулу (2.1)) исследуемого бес-

У

Г

конечно протяженного непериодического сигнала, представить его графически.

2.3.1.2 В системе MathCAD запрограммировать модель 0(t), на отрезке

T

T

а

4

времени

2, 2 при значениях параметров T = 0,5Бмс и fm= 10

Гц с шагом

t 0,001T

рассчитать отсчетные значения фун

ции 0(t) (соответствующие

е

0T

финитному сигналу

0T

t

0

, создать файл с массивом

0, , 0,5Tк, 0,5T,

отсчетных значений, построи ь график функции

t , сравнить его с графи-

ком по п. 2.3.1.1.

о

и

сче ных значений, с помощью подсистемы ге-

2.3.1.3 Используя файл

нерирования

программно-аппаратнтго комплекса сформировать в реальном

л

t

на отрезке

масштабе времени пер од ческий сигнал 0

( 0

t 0T t

б

0,5T,0,5T ), подать его на входы осциллографа и анализатора спектра. С по-

лизировать

зарисовать структуру амплитудного спектра, наблюдаемого на эк-

и

ране анализатора спектра.

2.3.1.4 Повторить п. 2.3.1.3 для значений параметра T , равных 1, 2, 4 и 8

Б

мс. Объяснить наблюдаемые изменения амплитудного спектра.

2.3.2

Математическое и физическое моделирование финитных

f

f t , 0,T

, где

f t – модель из таблицы 1.1, представить его

t

1

1T

0, ,0

, T,

1

m

2.3.2.3

Построить модель аппроксимирующей (сигнал

Р

функции

f

t в форме конечной суммы ряда (2.2) Котельникова, запрограммировать ее

1T

И

в

системе MathCAD. При

значениях параметров выполняемого варианта и

f

5 T

на отрезке T,2T с шагом t 0,001T рассчитать отсчетные значения

функции

f

У

t , построить ее график, сравнить с графиком по п. 2.3.2.2.

1T

fm, равных 10 T ,

2.3.2.4 Повторить п. 2.3.2.3 при значениях параметра

20 T,

40 T

Б

и 80 T . Оценить степень приближения аппроксимирующей функ-

ции f

t к

исходной f

t (на отрезках 0, Г, T,0 , ,2T ) в зависимости от

1T

1T

с шагом

ниях

параметров

выполня мого варианта на отрезке T,2T

выбора параметра

fm.

2.3.2.5

Проанализирвать матем тическую модель f1 t периодического

сигнала (см. табл. 1.1), запрограммиров ть ее в системе MathCAD. При значе-

ровать модель f1 t

тные

всистеме

MathCAD, при значениях параметров выпол-

t 0,001T рассчитать отсч

кзначения функции f1 t , построить ее график.

2.3.2.6 Построи ь модель

f t в форме конечной суммы ряда (2.2) Ко-

оm

1

тельникова, аппр ксимирующей сигнал f1 t на отрезке T,2T . Запрограмми-

отсчетные значенияфункции f1 t , построить ее график, сравнить с графиком

л

f

5 T

на отрезке T,2T с шагом t 0,001T рассчитать

няемого вар анта

б

по п. 2.3.2.5. Создать файл с массивом отсчетных значений, соответствующих

и

отрезку времени 0,T .

щью осциллографа измерить амплитуду A, длительность

0.5

и период T по-

Б

3kf11,5kf11,7kf11,10kf11 и 20kf11.

Р

2.4 Содержание отчета

И

1.

Цель работы.

t ,

2.

Математические модели и графики исходных

f (t) f

4T

(t),

0

У

f1(t) f4(t)

и

аппроксимирующих (при различных значениях

fm)

(t) сигналов.

Г

f1T (t) f4T

(t), f1

(t) f4

Б

3.

Результаты измерений и структуры амплитудных спектров по п. 2.3.1.3,

2.3.1.4, 2.3.2.7 – 2.3.2.10.

4.

Выводы.

2.5 Контрольные вопросы и задания

1.

Условие ортогональности бесконечной системы комплекснозначных

функций.

неполных

а

2.

Условие минимальности ср дн йкквадратической погнешности пред-

9. Дать

сравнительную оценку точности представления сигналов

f1T (t) f4T (t)

конечной суммой ряда Котельникова. Аргументацию подтвер-

Р

И

У

Г

Б

а

к

е

т

о

и

л

б

и

Б

3.2 Краткие теоретические сведения

Р

И

Помимо описания сигналов во временной области (ортогональными сис-

зуют классическое (непрерывное) преобразование Фурье или его последующее

У

развитие в вариантах дискретного и быстрого преобразований.

Г

Прямое преобразование Фурье ставит во взаимно однозначное соответст-

вие f(t ) S( ) исходному сигналу f(t )

– функции времени – спектральную

плотность (спектральную характеристику)

Б

а

S( )

f(t )e j tdt,

(3.1)

к

которая в общем случае является компл кснозначной функцией частоты .

Обратный переход от спектральной плоености S( ) к сигналу f(t )

выполня-

ется с помощью обратного пре браз вания Фурье

1

j t

f(t )

S(т)e

d .

(3.2)

2

о

Известно [1, 3]: д я представления интегралом (3.1) Фурье функция (сиг-

нал) f(t )

и

должна удов етворять на бесконечном интервале , тем же

условиям

ли а солютной интегрируемости, что и в случае ряда Фурье.

S( )

f(t )cos tdt j f(t )sin tdt A( ) jB( )

S( )

ej ( ), (3.3)

; ( ) arctg

B( )

.

где

S( )

A2( ) B2( )

A( )

1

1

f(t )

S( )

ej ( )ej td

S( )

cos( t ( ))d . (3.4)

2

0

Сравнивая математические модели спектральной плотности S( ) (3.1) и

спектральных коэффициентов Cn (1.1) ряда Фурье, можно установить:

S(n 1 )/T Cn .

Р

(3.5)

Это значит, что непрерывный спектр непериодического сигнала и огибающая

дискретного спектра соответствующего ему периодическогоИсигнала совпадают

У

по форме. Соотношение (3.5) позволяет, зная выражение для спектральных ко-

Б

эффициентов, сразу перейти к выражению для спектральной плотности и, на-

оборот, от спектральной плотности к спектральнымГкоэффициентам.

а

В практике моделирования СТК широко применяют следующие свойства

преобразования Фурье [1].

1.Свойство

линейности.

Если

fi(t ) Si( ) (i

1, N

),

то

N

i

i

N

i

iкi

f

(t)

(t) S( )

A f

A S ( )

( A – постоянные коэффициенты), т.е. ли-

i 1

т

i 1

нейной суперпозиции сигналовесоответствует линейная суперпозиция их спек-

о

тральных плотн стей.

по

времени.

Если

f1(t ) S1( ),

то

и

2.Свойство

сдвига

f

(t ) f

(t t

) S

( ) S ( )e j t0 ,

т.е.

запаздывающий (опережающий)

2

л

2

1

1

0

сдвиг по времени

сходного сигнала f1(t ) изменяет только фазовый спектр.

б

f1(t ) S1( ),

то

3.Свойство изменения масштаба по времени. Если

тие

1

f

(t ) f

(nt ) S

( )

S

,

т.е. растяжению (n 1) или сжатию (n 1)

2

1

2

n

1 n

сходного сигнала по времени в n раз соответствует такое же по величине сжа-

(растяжение) его спектральной плотности по частоте при одновременном

увеличении (уменьшении) амплитуд спектральных компонент в n раз.

Б

4.Свойство

смещения

спектра

сигнала. Если

f1(t ) S1( ),

то

f2 t f1 t cos 0t 0 S2

1

e j 0 S1 0 e j 0 S1 0 ,

т.е.

2

умножение исходного сигнала

f1 t на гармоническое колебание с частотой 0

тельному (опережающему) приращению их начальных фаз на угол 0

.

2

6.Свойство интегрирования сигнала. Если f1(t ) S1( ), то

t

1

S ( ) j

f2(t ) f1(t )dt S2( )

S1( )

1

e

2 , т.е. интегрирование приво-

j

И

2

дит к относительному увеличению (уменьшению) амплитуд низкочастотных

(высокочастотных) спектральных компонент исходного сигнала и дополниР-

тельному (запаздывающему)

приращению их начальных фаз на угол

.

Г

0

Свойство интегрирования применимо к сигналам, для которых

lim S1 0.

У0

7.Свойство произведения сигналов. Если

f1(t ) S1( )и

f2(t ) S2( ),

1

то

произведение

f(t ) f1(t ) f

2

(t ) S( )Б

S1( x)S2( x)dx

к

2

1

спек

1

1

S

( x)S

( x)dx, т.е. произв д нию исходныха

сигналов соответствует

2 1

2

т

свертка их спектральных плотностей.

S ( ) f (t )

8.Свойство

произведения

ров.

Если

и

о

и

S2( ) f2(t ),

то

S( ) S1( ) S2( ) f(t ) f1( )f2(t )d

л

f1(t ) f2( )d ,

т.е. про зведению спектральных плотностей исходных сиг-

налов соответствует свертка этих сигналов.

и

взаимозаменяемости

времени

и

частоты.

Если

9.Свойство

Б

f(t )

S( ),бто S(t ) F( ) 2 f( ),

т.е. сигналу S(t ), повторяющему по

форме спектральную плотность

S( ) исходного сигнала

f(t ), соответствует

спектральная плотность F( ), повторяющая по форме исходный сигнал. Свой-

ство справедливо для сигнала, описываемого четной функцией

f(t ).

10.Равенство

Парсеваля.

Если

f(t ) S( ),

то

Э f 2(t )dt

1

2 d

1

2 d . Равенство Парсеваля, вытекающее из свойст-

S( )

S( )

2

0

(t t

, t t0

,

(3.6)

0

)

t

t

0,

0

которая [1, 3, 6]:

существует в единственной точке t t0 (при t0

0 (t t0 ) (t ));

имеет размерность (t t0) c 1 и площадь, равную единице;

обладает фильтрующим (стробирующим) свойством;

Р

имеет спектральную плотность S

( ) e

j t0

и поэтому обладает беско-

нечно большой энергией.

И

У

Применяя к спектральной плотности S (

)

обратное преобразование

(3.2) Фурье, получаем определение функции (tГt ) через частотную область:

0 )dБ1

0

1

(t t

0

)

e j (t t

e j (t t0 )d .

(3.7)

2

2

Формально заменяя в выраж нииа(3.7) время t(t0 ) на частоту ( 0 ), а

частоту (

0

) на время t(t

0

), приходим к определению

к

1

( )t

(

е

e

0

dt

(3.8)

)

-функции на

0

2

част , которая также широко применяется при моделирова-

нии СТК.

т

Использованое -функции позволяет распространить обычные правила

оси

0

л

дифференцирован я также на кусочно-непрерывные функции с разрывами пер-

f (t)

в точке t t разрыва первого рода имеет производную

б

lim

f '(t0) (A2 A1) (t t0),

(3.9)

где A

f (t); A

lim f (t).

функция

1

t t0 0

2

t t0 0

Б

На примерах совместного применения свойств преобразования Фурье и

j n ( n 1)

S( ) 2 A0 ( ) An e j n ( n 1) e

(3.10)

n 1

в виде множества -функций на частотах n 1 n ,

.

Р