«Алгебра және геометрия» пәні

1. Матрицалар операциялары. Кері матрица және оны есептеу әдістері.

2. Анықтауыштың әр түрлі түсініктері. n-ші ретті анықтауыштар және оның қасиеттері. Матрица туындыларының анықтауышы.

3. Сызықты алгебра теңдеуін шешу саны және құрылымы.

4. Кеңістіктегі түзу теңдеу. Екі түзудің өзара орналасуы. Екі түзудің арақашықтығы.

5. Эллипс, гипербола, параболаның канондық теңдеулері. Полярлы координата жүйелеріндегі эллипс, парабола, гипербола теңдеулері.

1. Матрицалар операциялары. Кері матрица және оны есептеу әдістері. Матрицалар және оларға амалдар қолдану

санын А матрицасына көбейту үшін оның әрбір элементін сол санға көбейту қажет

Бірдей өлшемді А және В матрицаларының қосындысы деп өлшемі А мен В өлшеміндей, элементтері А мен В элементтерінің қосындысыны тең матрицаны атайды.

А және В матрицаларының көбейтіндісі деп с_ij – элементтері А матрицасының i – ші жатық жолы элементтерін В матрицасының j – ші тік жолының сәйкес элементтеріне көбейтіп қосқанға тең С матрицасын атайды.

Мысал. Берілген А= және В = . Табу керек 2А+3В

2А+3В= 2+3=+=

==

Мысал. А=, В = Табу керек: АВ .

==

=

Кері матрица. Матрицаның керілену критерийі.

Анықтама: А(n x n) квадрат матрица, А^-1 кері матрица, егер осыны А ға көбейтеміз, бірлік матрица шығады. А^-1 *А=А* А^-1 =Е

Ан: B(n x n) кв.мат. detB=0; онда ол ерекше матрица д.а.

Ан: А матрицасы одақтас матрицасы деп А^т (траспанирленген) матрицасынының алгебралық толықтауыштарын тұратын А* матрицасын айтамыз.

Теорема n-өлшемді А матрицаның керісі табылу үшін оның ерекше емес болуы қажет және жеткілікті. Оның келесі формасы орындалады. А^{-1 =}*А^*

Д-у: формуланың орындалатынын көрсетсек теорема дәлелденді.

=++....

{анықтауыштың 1-қатары бойынша жіктелуі}≠detA++....{анықтауыштың 2-қатары бойынша жіктелуі, бірақ 2-ші қатарда 1-қатардың элементтері тұр.}

=0

Сонымен бұл көбейтіндіде диагоналіндеdetA болатын, ол қалған элементтері 0-ге тең болатын матрица шығады.

A*А^*== А^* *A А* А^-1 = А^-1А=Е=

*A*А^*=Е==* А^* *A А^-1=* А^*

( *) А^-1=

Гаус

( *) формулаасы 2, 3, 4 болатын матрицаға қолайлы. Ал өлшемділігі үлкен матрицаға Гаус Жордан алгоритмі қолданылады.

~.....~=>P=А^-1

Мысал. Берілген А= матрицасына кері матрицаны табу керек.

Шешімі. det=6. Барлық алгебралық толықтауыштарын есептеп табамыз

, , ,

, , ,

, ,

Сөйтіп кері матрица

2 Анықтауыштың әр түрлі түсініктері. N-ші ретті анықтауыштар және оның қасиеттері. Матрица туындыларының анықтауышы.

Анықтама. m жатық және n тік жолдарда орналасқан сандар кестесін mn өлшемді тік бұрышты А матрицасы деп атайды. Яғни

А=

Бізге А= екінші ретті квадрат матрица берілсін.

Анықтама. Екінші ретті квадрат А матрицасына сәйкесті екінші ретті анықтауыш деп санды атайды және оны былайша белгілейді

=а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂

Мысал. Мына анықтауышты есепте.

Шешуі. = .

Үшінші ретті анықтауыш туралы түсінік

Анықтама. Үшінші ретті квадрат матрицаға сәйкесті үшінші ретті анықтауыш деп

а₁₁ а₂₂ а₃₃ +а₁₂ а₁₁ а₂₃ а₃₁ +а₁₃ а₂₁ а₃₂ -а₁₃ а₂₂ а₃₁ -а₁₂ а₂₁ а₃₃ -а₁₁ а₂₃ а₃₂ санын атап, мына символ арқылы белгілейді:

= а₁₁ а₂₂ а₃₃ +а₁₂ а₁₁ а₂₃ а₃₁ +а₁₃ а₂₁ а₃₂ -а₁₃ а₂₂ а₃₁ -а₁₂ а₂₁ а₃₃ -а₁₁ а₂₃ а₃₂

Үшінші ретті анықтауышты есептеуде Саррюс ережесін (үшбұрыш ережесін) қолданылады:

= + + - - - .

Мысал. Мына анықтауышты есептеу керек.

Ол үшін үшбұрыш ережесін қолданамыз. Сонда

=