5. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар.

Дискретті кездейсоқ шамалар

кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы дискретті үлестірім функциясы (II тарау, 3.1-пунктті қараңыз) болсын. Онда , мұндағы нүктелері үшін , яғни үлестірім заңы (ықтималдықтық өлшемі) жиынының нүктелерінде шоғырланған және . Мұндай кездейсоқ шама үшін оның кез келген борелдік жиынына түсу ықтималдығы, әрине, былайша анықталады:

(17)

Бұдан, жеке жағдай ретінде, үлестірім функциясы үшін

қатынастарын аламыз.

Егер кездейсоқ шамасының үлестірім заңы (1)-қатынаспен анықталса, онда мұндай кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атаймыз. Басқаша айтқанда дискретті кездейсоқ шама дегеніміз қабылдайтын мәндерінің жиыны ақырлы не саналымды жиын болатын кездейсоқ шама:

.

Айта кетелік, дискретті ықтималдық кеңістігінде анықталған кез келген сандық мәнді функция дискретті кездейсоқ шама болады, себебі , үшін , және кез келген борелдік жиыны үшін

, .

Абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шамалар

Егер кездейсоқ шамасы үшін теріс емес функциясы табылып, оның үлестірім функциясы

, , (2)

интегралы түрінде жазылатын болса, онда мұндай абсолютті үзіліссіз үлестірім функциясына (ІІ тарау, §3, п.3.1) сәйкес келетін кездейсоқ шаманы абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шама деп, ал функциясын оның үлестірім тығыздығы деп атаймыз.

Анықтамадан үлестірім тығыздығы болатын функциясы

(3)

шартын қанағаттандыратынын (өйткені ), және, егер нүктесі функциясының үзіліссіздік нүктесі болса, онда жеткілікті аз шамасы үшін

, ,

болатынын аламыз. (2)-анықтамадан сонымен бірге функциясының үзіліссіздік нүктелерінде

қатынасы орындалатынын және кез келген үшін

(4)

формуласы дұрыс болатынын көреміз. Соңғы формуладан кез келген абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шамасы үшін оның қандай да бір жеке мәнді қабылдау ықтималдығы әрқашан нөлге тең болатыны шығатыны айқын: , . Бұдан, кез келген интервал үшін (, немесе т.с.с.)

(5)

формуласының дұрыс болатынын байқаймыз. Жалпы (абсолютті) үзіліссіз кездейсоқ шамасының кез келген борелдік жиынына түсу ықтималдығы үшін

(5′)

формуласының дұрыстығын дәлелдеу қиын емес: (5)-формула (4)-қатынастың, жүйесінің алгебра болатындығының, теңдігінің және Каратеодори теоремасының салдары. ((5′)-интегралды, жалпы алғанда, Лебег интегралы ретінде түсіну керек).

Дискрет кездейсоқ шаманың математикалық күтімі

Анықтама: дискрет кездейсоқ шама беріліп,

- мәндер жиыны,

, - үлестірімі белгілі болсын. Егер

шарты орындалса, онда кездейсоқ шаманың ақырлы математикалық күтімі бар дейді. Оның математикалық күтімі деп

санын айтады.

Абсолют үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық күтімі

абсолют үзіліссіз кездейсоқ шама берілсін. - оның тығыздығы болсын

Егер болса, онда кездейсоқ шамасының ақырлы математикалық күтімі бар дейді және оның математикалық күтімі деп санын айтады.