Тема 6. Ряды и их суммы. Представление функций рядами.

Задание 1. Ознакомьтесь с соответствующим разделом Введения и Help (контекстная помощь на «sum»).

Задание 2. Структурируйте рабочий лист для выполнения заданий по теме, создав нужное число подразделов и поместив в 1-ю текстовую строку каждого подраздела соответствующее задание.

Задание 3.

3.1. Найти сумму бесконечного геометрического ряда (q<1) с общим членом вида q^k (k = 0..) в общем виде и вычислить её для q=1/2.

3.2. Найти конечную сумму членов того же вида для (k = 0..5) в общем виде, вычислить её для q=1/2, сравнить с предыдущим результатом.

Задание 4. Найти и вычислить сумму ряда с общим членом (-1)^k/k! (k= 0..) и конечную сумму первых членов его до k=4 и k=5. Сравнить числа.

Задание 5. Найти и вычислить сумму ряда с общим членом 1/k^4 (k=1..).

Задание 6. Представить функцию f = sin(x) рядом Тейлора с точностью до 1-го, 2-го, 3-го и 4-го приближения, подбирая в каждом случае число членов разложения таким, чтобы получить следующее, более точное, приближение. Построить на одном чертеже графики точной функции и её аппроксимаций (0=<x=<Pi). Сделать выводы об интервалах применимости полученных приближений. (Указание: для построения графиков конвертировать ряды в полиномы).

Задание 7. Представить функцию f = tg(x) рядом Тейлора с точностью до 1-го, 2-го, 3-го и 4-го приближения, подбирая в каждом случае число членов разложения таким, чтобы получить следующее, более точное, приближение. Построить на одном чертеже графики точной функции и её аппроксимаций (0=<x=<Pi/4). Сделать выводы об интервалах применимости полученных приближений.

Тема 7. Интегралы.

Задание 1. Ознакомьтесь с соответствующим разделом Введения и Help (контекстная помощь на «int»).

Задание 2. Структурируйте рабочий лист для выполнения заданий по теме.

Задание 3. Составьте таблицу неопределённых интегралов для наиболее часто встречающихся алгебраических и элементарных трансцендентных функций (не менее 10).

Задание 4.

Используя средства программы, найти 1-кратным интегрированием

4.1. площадь прямоугольника со сторонами a и b.

4.2. площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b.

Указание: выбрать удобную СК; использовать уравнение гипотенузы.

4.3. площадь фигуры, ограниченной сверху уравнением скорости равноускоренного движения, снизу – осью абсцисс на интервале (0, t).

Задание 5.

5.1. Найти двойным интегрированием площадь круга радиуса R, а) используя декартовы координаты; б) используя полярные координаты.

Указание: использовать уравнение окружности; элемент площади в полярных координатах .

5.2. Найти двойным интегрированием площадь сектора круга радиуса R опирающегося на угол /6.

5.3. Найти интегрированием площадь эллипса с полуосями a и b. Указание: использовать уравнение эллипса.

Задание 6. Найти интегрированием площадь поверхности шара радиуса R; элемент площади в сферических координатах (интеграл берётся по полному телесному углу). Вычислить результат для R= 2.

Задание 7.

7.1. Найти объём шара радиуса R; элемент объёма в сферических координатах: . Вычислить результат для R= 2.

7.2. Найти объём цилиндра радиуса R, высоты h и вычислить результат для R= 2, h=3; элемент объёма выбрать в цилиндрических координатах.

Задание 8.

Функция имеет вид: .

8.1. Найти интеграл от этой функции при x = 0..z. Выяснить смысл ответа и построить график выведенной функции на отрезке [0..3]

8.2. Вычислить площадь фигуры, образованной этой функцией, вертикалями х=0 и х=1, и отрезком оси Х.

8.3. Найти интегралы и, выяснить смысл полученных выражений и выразить их через факториалы.