13. 1-Кратные интегралы (неопределённые и определённые).
Оператор интегрирования - "int" (может быть как внешним, так и внутренним оператором в составной команде). Интегрируемая функция определяется ранее оператором присвоения, либо вписывается прямо в команду (первое удобнее, когда ищется несколько интегралов, либо с функцией совершаются ещё какие-то действия). Необходимо указать аргумент, по которому интегрируем (параметр команды). Все выражения, явно не содержащие этого аргумента, считаются постоянными.
>
13.1. Неопределённый интеграл.
Формат команды (для произвольной подинтегральной функции):
> int(f(x), x);
Подинтегральная функция дана в общем виде, и ответ выведен также в общем виде. Символ дифференциала вставлен формально в выведенную формулу. Произвольная константа интегрирования на экран не выводится! х - переменная интегрирования (обязательный параметр). Примеры:
> int(x^n, x); int(x^2*exp(-x), x): phi:=collect(%, exp(-x)); f:=a*x^2/(1+b*x^2);
F:=factor(int(%, x));
Программа может затребовать дополнительные сведения о параметрах функции. Например, при нахождении 1-го интеграла программа может затребовать сведения о величине n, т. к. при n = -1 интеграл имеет другой вид! Тогда следует указать требуемое условие, (например: assume(n>0)).
Графическая иллюстрация связи подинтегральной функции и её первообразной.
> phi:=x*exp(-x); psi:=int(%, x);
> plot([phi, psi], x=-1..5, style=[line, point]);
График 13.1. Сравните с графиками функции и её производной в п. 12. Первообразная имеет минимум, когда подинтегральная функция = 0.
Интегрирование функций комплексного переменного.
> F1:=int(x*exp(-I*x), x); int(exp((2-I)*x), x); F2:=convert(%, trig);
Когда программа не имеет аналитического выражения интеграла (или он введён с ошибкой), она возвращает его в виде введённой формулы.
> int(exp(-x^2)*ln(x^2), x);
В ряде случаев программа выводит результат в виде высших трансцендентных функций (см. п. 10). Пример:
> int(exp(-x^2), x);
Описание таких функций есть в Help.
13.1.1. Справка о функции erf(X) (Интеграл ошибок или интеграл вероятности).
erf - The Error Function
erfc - The Complementary Error Function and its Iterated Integrals
Calling Sequence
erf(x); erfc(x)
Parameters
x - algebraic expression
Description
The error function is defined for all complex x by erf(x) = 2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x)
The complementary error function is defined by erfc(x) = 1 - erf(x) Examples
> erf(infinity);
> erf(3); evalf(%);
> plot(erf(x), x=-2..2);
График 13.2. Представление интеграла ошибок.
Другой пример:
> int(exp(-x^4), x=0..infinity);
13.1.2. Справка о функции (z)
GAMMA- Gamma and incomplete Gamma functions
Calling Sequence
GAMMA(z)
Parameters
z - algebraic expression
Description
The Gamma function is defined for Re(z)>0 by GAMMA(z)=int(exp(-t)*t^(z-1),t=0..infinity)
and is extended to the rest of the complex plane, less the non-positive integers, by analytic continuation. GAMMA has a simple pole at each of the points z=0,-1,-2,....
> plot(GAMMA(z), z=-4..5, -10..20);
График 13.3. Представление Гамма-функции.
> GAMMA(n+1)=convert(GAMMA(n+1), factorial);
>