- •1. Интерфейс программы Maple.
- •1.1. Рабочий лист и меню.
- •1.2. Панель инструментов.
- •1.3. Язык пользователя.
- •1.4. Совместимость с другими программами.
- •2. Структура команды, операторы, синтаксические символы
- •2.1. Операторы, операнды и основные синтаксические символы команды.
- •2.2. Оператор присвоения, функции пользователя и оператор подстановки.
- •3. Алгебраические операторы.
- •3.1. Равенство и неравенства.
- •3.2. Алгебраические действия.
- •3.3. Специальные константы.
- •3.4. Комплексные числа.
- •3.5. Подстановка численных значений и простые вычисления.
- •3. Специальный оператор вычисления: eval.
- •3.6. Использование символов последовательности, списка, множества.
- •3.7. Элементарные трансцендентные функции.
- •4. Алгебраические преобразования.
- •4.1. Факторизация алгебраических выражений.
- •4.2. Приведение подобных членов.
- •4.3. Упрощение и развёртывание.
- •4.4. Нормализация дробных выражений.
- •4.5. Комбинирование выражений.
- •4.6. Преобразование функций.
- •4.7. Условия на переменные и параметры.
- •5. Вычисления множества значений функции.
- •5.1. Вычисление множества значений данной функции для множества значений аргумента с заданным шагом.
- •5.2. Вычисление множества значений данной функции для выбранного множества значений аргумента.
- •5.3. Вычисление множества значений данной функции для множества значений аргумента с заданным условием.
- •6. Суммы, суммирование последовательности, вычисление сумм.
- •7. Таблицы.
- •8. Графики.
- •8.2. 3-Мерные графики функций двух переменных.
- •8.3. Анимация графиков.
- •9. Решение алгебраических уравнений и их систем.
- •9.1. Решение отдельного уравнения.
- •9.2. Решение системы линейных уравнений.
- •9.3. Решение системы линейного и квадратного уравнений.
- •9.4. Решение системы квадратных уравнений.
- •10. Решение трансцендентных уравнений.
- •10.1. Решение одного уравнения.
- •10.1.1. Справка о функции Ламберта.
- •10.2. Решение системы, содержащей трансцендентные уравнения.
- •11. Пределы и асимптотика функций.
- •11.1. Пределы.
- •11.2. Асимптотическое поведение функций.
- •12. Дифференцирование функций.
- •13. 1-Кратные интегралы (неопределённые и определённые).
- •13.1. Неопределённый интеграл.
- •13.1.1. Справка о функции erf(X) (Интеграл ошибок или интеграл вероятности).
- •13.1.2. Справка о функции (z)
- •13.2. Определённый интеграл.
- •14. Многократные интегралы.
- •1. Неопределённый интеграл. Формат команд:
- •15. Вычисление и графическое представление интегралов.
- •16. Ряды, разложение функций в ряды.
- •16.1. Суммирование рядов.
- •16.1.1. Справка по функциям Бесселя.
- •16.1.2. Справка по дзета-функции Римана.
- •16.2. Разложение функций в ряды.
- •3. Примеры.
- •16.3. Конвертирование рядов и аппроксимация функций полиномами.
- •16.3.1. Приложение аппроксимаций к решению трансцендентных уравнений
- •17. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их решение.
- •17.1. Общее решение оду.
- •17.1.1. Справка о функциях Бесселя.
- •17.2. Решение с начальными условиями.
- •17.3. Использование решений дифференциальных уравнений.
- •18. Дифференциальные уравнения в частных производных.
- •18.1. Разделение переменных.
- •18.2. Решение командой pdsolve.
- •18.3. Графическое представление решения.
- •1. Контрольные вопросы для самопроверки
- •5.1. Напишите команду вычисления значений функции для множества значений аргумента с данным шагом.
- •5.2. Напишите команду вычисления значений функции для выбранного множества значений аргумента.
- •2. Задания для лабораторных работ
- •Тема 1. Ознакомление с программой Maple и простейшие вычисления с её помощью.
- •Тема 2. Построение графиков.
- •Тема 3. Решение алгебраических уравнений и их систем.
- •Тема 4. Трансцендентные функции и решение трансцендентных уравнений.
- •Тема 5. Дифференцирование функций.
- •Тема 6. Ряды и их суммы. Представление функций рядами.
- •Тема 7. Интегралы.
- •Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •Тема 9. Дифференциальные уравнения в частных производных.
- •Общая характеристика программы ……………………………………………………. 3
10.1.1. Справка о функции Ламберта.
Эта справка копирована из Help.
LambertW - The Lambert W function
Calling Sequence
LambertW(x)
LambertW(k, x)
Parameters
x - algebraic expression; k - algebraic expression, understood to be an integer
Description
The LambertW function satisfies: LambertW(x) * exp(LambertW(x)) = x .
As the equation yexp(y) = x has an infinite number of solutions y for each (non-zero) value of x, LambertW has an infinite number of branches. Exactly one of these branches is analytic at 0. In Maple this branch is referred to as the principal branch of LambertW, and is denoted by LambertW(x). The other branches all have a branch point at 0, and these branches are denoted in Maple by LambertW(k, x), where k is any non-zero integer. (The principal branch can also be referred to as LambertW(0, x)).
The principal branch and the pair of branches LambertW(-1, x) and LambertW(1, x) share an order 2 branch point at -exp(-1). The branch cut dividing these branches is the subset of the real line from -infinity to -exp(-1), and the values of the branches of LambertW on this branch cut are assigned using the rule of counter-clockwise continuity around the branch point. This means that Lambert W(x) is real-valued for x in the range -exp(-1) .. infinity, while the image of -infinity .. -exp(-1) under LambertW(x) is the curve -y cot(y) + y*I, for y in 0 .. Pi.
For all the branches other than the principal branch, the branch cut dividing them is the negative real axis. The branches are numbered up and down from the real axis (this is very similar to the way the branches of the logarithm are indexed by the multiple of 2*Pi*I which must be subtracted from the imaginary part to recover the principal branch). Again, the values of the branches of LambertW along the branch cut are determined by the rule of counter-clockwise continuity around the branch point at 0. Thus, the image of the negative real axis under the branch LambertW(k, x) is the curve -y cot(y) + y*I, for y in 2*k*Pi .. (2*k + 1)*Pi if k > 0 and y in (2*k + 1)*Pi. (2*k + 2)*Pi if k < -1. These curves, therefore, bound the ranges of the branches of LambertW, and in each case, the upper boundary of the region is included in the range of the corresponding branch.
The asymptotic behavior of LambertW at complex infinity and at 0 (for the non-principal branches) is given by
LambertW(k,x)~log(k,x) -log(log(k,x) +sum(c(m,n)*log(log(k,x))^(m+1)/log(k,x)^(m+n+1),
0 <= m,n <= infinity)
where log(x) denotes the principal branch of the logarithm, log(k, x) = log(x) + 2*k*Pi*I and the c(m, n) are constants independent of k. The expansion for LambertW(-1, x) is not valid for x tending to 0 along the negative real axis (the effect of the branch point at -exp(-1) must be considered), but holds otherwise.
Examples
> LambertW(0); LambertW(-exp(-1));
> LambertW(1.5+2.5*I);
> plot(LambertW(x), x=-1..5);
График 10.3. Функция Ламберта.
10.2. Решение системы, содержащей трансцендентные уравнения.
2-й способ графического решения Пр. 3 – решение системы 2-х уравнений:
> eqs1:={y=exp(-x), y=x}; solve(eqs1, {x, y}); fsolve(eqs1, {x, y});
Графическое представление:
> plot([x, exp(-x)], x=0..1, style=[line,line], color=[red,blue]);
График 10.4. Решение соответствует пересечению графиков 2-х функций. Абсцисса точки пересечения та же, что на графике 6. Обе координаты этой точки совпадают с найденным выше численным решением системы.
Пример 4. Решение системы, содержащей трансцендентную функцию (см. также пример 3 в п. 10.1). Аналитическое и численное решение:
> eqs:={y=ln(x), y=2*x-5}; solve(eqs, {x, y}); fsolve(eqs, {x, y});
Графическое решение:
> plot([ln(x), 2*x-5], x=1..5, style=[line,line], color=[red,blue]);
График 10.5. Решение соответствует пересечению графиков 2-х функций. Обе координаты этой точки совпадают с найденным выше численным решением системы.
>