Методические указания СТРОЙМЕХ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

Правила определения внутренних усилий в балке

В общем случае в элементах плоской стержневой системы возникают три усилия: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. На рис. А.1 показаны положительные значения внутренних силовых факторов в любом поперечном сечении стержня.

При нагрузках, направленных по нормали к оси балки, имеем плоский прямой изгиб, когда в поперечном в сечении балки возникают два внутренних усилия – изгибающий момент и поперечная сила (соответствует условию рассматриваемой задачи).

При нагрузках, направленных не по нормали к оси балки (а под другим углом), в ее поперечных сечениях возникают, кроме поперечных сил и изгибающих моментов, также и продольные силы N.

Рис. А.1

Из уравнений равновесия для отсеченных частей по методу сечений следуют правила определения внутренних усилий.

Продольная сила N – это сумма проекций на ось X всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, с учетом правила знаков:

Продольная сила положительна, если растягивает элемент, и отрицательна, если сжимает его.

При построении эпюр: положительные значения N, как правило, откладывают выше (слева) базисной линии, отрицательные – ниже (справа). На эпюре N обязательно указывается знак.

Поперечная (перерезывающая) сила Q – это сумма проекций на попереч-

41

ную ось Y сечения всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, с учетом правила знаков:

Поперечная сила положительна, если вращает элемент по часовой стрелке, и отрицательна, если вращает его против часовой стрелки.

При построении эпюр положительные значения Q, как правило, откладывают выше (слева) базисной линии, отрицательные – ниже (справа). На эпюре Q обязательно указывается знак.

Изгибающий момент – это сумма моментов всех внешних усилий, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, взятых относительно центра массы сечения, с учетом правила знаков:

M M .

отс.ч

Изгибающий момент считается положительным, если он приводит к растяжению нижних волокон (выпуклостью вниз). На рис. А.2, показаны направления положительных моментов (с левого торца балки – по часовой стрелке, с правого – против часовой стрелки).

Рис. А.2

Эпюра М строится со стороны растянутых волокон, причем в соответствии с введенным правилом знаков, изгибающий момент, имеющий положительное значение, откладывается снизу эпюры (на нижних волокнах).

В инженерных расчетах знак на эпюре изгибающего момента обычно не ставят, эпюру М строят со стороны растянутого волокна, что считается достаточным для последующих расчетов. Это связано с тем, что бетон плохо сопротивляется растяжению, поэтому эпюра М указывает ту зону (те волокна), где имеет место растяжение и где следует закладывать стальную арматуру, которая и будет воспринимать растягивающие напряжения.

42

Приложение Б

Проверка правильности построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Эпюры внутренних усилий M и Q должны удовлетворять закономерностям, известным из курса сопротивления материалов. Поясним эти закономерности на примере эпюр M и Q для многопролётной балки, рассмотренной

впримере расчёта (см. рис. 3, а–в).

1.Эпюра изгибающих моментов:

-в сечениях, где действуют внешние сосредоточенные моменты, наблюдаются скачки эпюры М на величину внешнего момента, направленные в сторону действия М (см. рис. 3, в, сечение k);

-точкам приложения сосредоточенных сил (как внешних, так и реактивных) соответствуют изломы эпюры М в направлении действия этих сил (см. рис. 3, в, сечения В, С, n, E, k);

-между сосредоточенными силами (в случае отсутствия между ними распределенных нагрузок) эпюра М линейная (см. рис. 3, в, участки DE, Ek, kG);

-на участках с распределенной нагрузкой q эпюра М криволинейная (параболическая) с выпуклостью в ту сторону, в которую направлена эта нагрузка (см. рис, 3, в, участки АВ, ВС, Сn, nD).

2. Эпюра поперечных сил:

-точкам приложения сосредоточенных сил (как внешних, так и реактивных) соответствуют скачки эпюры на их величину в направлении действия сил (при перемещении вдоль базовой линии эпюры слева направо) (см. рис. 3,

б, сечения В, С, n, E, k);

-между сосредоточенными силами (в случае отсутствия между ними распределенных нагрузок) эпюра Q сохраняет постоянное значение и представляет собой прямую, параллельную нулевой линии (см. рис. 3, б, участки DE, Ek, kG);

-на участках с равномерно распределенными нагрузками эпюра Q наклонная, при этом наклон возрастает с увеличением интенсивности нагрузки (см. рис. 3, в, участки АВ, ВС, Сn, nD);

3. Между эпюрами М и Q существует взаимосвязь, определяемая теоремой Д.И. Журавского Q = dM /dх, поэтому:

- в сечениях, где поперечная сила равна нулю, изгибающие моменты име-

ют экстремальные значения, т.е. при Q = 0: М = М max, min. В частности, на рис. 3, б, в показаны экстремумы эпюры M на участке CD. Экстремумы на эпюре

43

М наблюдаются также в точках B, E, где эпюра Q скачкообразно переходит через нулевую линию;

- при положительном значении Q эпюра М возрастает (нисходящие ординаты на эпюре М при ее построении на растянутых волокнах и движении слева направо), при отрицательном – уменьшается (восходящие ординаты на эпюре М).

4. Кроме качественной проверки эпюр М и Q можно провести их количественную проверку.

Так как Q = dM /dх = tgφМ, поперечная сила в любом сечении численно равна тангенсу угла наклона, составляемого касательной к эпюре M с осью балки (угла φ). При построении эпюры изгибающего момента на растянутых волокнах поперечная сила положительна, если нулевую линию эпюры следует вращать до совмещения с касательной к эпюре М по часовой стрелке на угол не более 90°.

Тогда эпюры поперечных сил можно построить по эпюрам моментов на основе зависимости Журавского в виде:

– для участков, где эпюра М имеет линейное очертание (отсутствует q), значе-

ние Q = const;

– для участков, где эпюра М имеет параболическое очертание (действует q), эпюра Q линейная со значениями ординат по краям.

Здесь МН и МК – изгибающие моменты соответственно в начале МН и в конце МК участка (положительные, если растягивают нижние (правые для вертикальных стержней) волокна); l – длина участка; QН и QК – поперечные силы соответственно в начале и в конце участка (берутся со своим знаком); q – действующая равномерно распределенная нагрузка (q > 0, если направлена вниз или слева направо для вертикальных стержней).

Для балки, указанной на рис. 3, а (эпюра изгибающих моментов – на рис. 3, в), имеем:

44

участке элемента между сечениями I и K (значения ординат Q берутся с эпюры со своим знаком).

Для рассматриваемого примера (см. рис. 3, б, в) получаем:

Полученные значения изгибающих моментов совпадают со значениями, указанными на эпюре M (см. рис. 3, в) и вычисленными по правилам, принятым в сопротивлении материалов.

46

Приложение В

Линии влияния в балках с жёсткой заделкой

Рис. В.1

47

48

Ведущий редактор: Н.А. Бачурина Ведущий технический редактор: Т.С. Камыгина

Лицензия А № 165724 от 11.04.06 г.

49

ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет» 162600 г. Череповец, пр. Луначарского, 5

50