РГЗ №1 Расчет многопролетной СО балки

Рис. 4. Линии влияния в однопролётной балке (табличные)

2.5.3. Построение ЛВ опорных реакций

а) Линия влияния опорной реакции RE. (рис. 5, г). Рассмотрим вна-

чале движение груза F 1 по балке DEG, которой принадлежит опора E. При этом второстепенная балка CD не загружена и не влияет на работу балки DEG. Тогда участок D’E’G’ линии влияния RE, соответствующий передвижению груза F 1 по балке DEG, ничем

21

не будет отличаться от линии влияния реакции отдельно стоящей простой балки (рис. 4, в) с отброшенной правой консолью. При положении груза F 1 в точке D: RE = 6/5 = 1,2.

При движении груза F 1 по балке CD на балку DEG в точке D передается усилие R’D. Поскольку значение реакции RE от единичной силы, приложенной в точке D, составляет 1,2, то от силы R’D будем иметь RE = 1,2 RD.

Значение RD, как опорной реакции, меняется по линейному закону. Следовательно, и RE при движении F 1 по балке СD меняется по закону прямой, соединяющей узловые ординаты (рис. 5, г):

-при положении груза F 1 в точке D: RE = 1,2 (в шарнире перелом);

-при положении груза F 1 в точке C: RE = 0 (на опоре ноль).

При движении груза F 1 по основной балке АВC усилие на вышележащую балку СD, а следовательно и на балку DЕG, не передается. Все усилия в балке DЕG при движении груза по участку АВC равны нулю и RE = 0. Соответствующий участок А’В’C’ линии влияния совпадает с осью абсцисс (рис. 5, г).

б) Линия влияния опорной реакции RА (рис. 5, д). Построение на-

чинаем с балки АВС, которой принадлежит рассматриваемая опора А. При движении груза F 1 по балке АВС второстепенная балка СD не загружена и не влияет на работу балки АВС. Тогда участок A’В’C’ линии влияния RA имеет тот же вид, что и линия влияния реакции RA отдельно стоящей простой балки (рис. 4, в). При положении груза F 1 в точке C: RE = – 2/3 = – 0,667.

При движении груза F 1 по балке CD на балку АВС в точке С передается усилие R’C. Значение реакции RA от единичной силы, приложенной в точке С, равно – 0,667. Следовательно, значение реакции RA от силы R’C составит:

RА = – 0,667∙ RС .Так как значение опорной реакции RC при движении F 1 по балке СD меняется по линейному закону, то и реак-

22

ция RА при этом будет меняться по закону прямой, соединяющей узловые ординаты (рис. 5, д):

-при положении груза F 1 в точке С: RA = – 0,667;

-при положении груза F 1 в точке D: RA = 0.

При движении груза F 1 по основной балке DЕG усилие на вышележащую балку СD, а следовательно и на балку АВC, не передается и RA = 0. Соответствующий участок D’E’G’ линии влияния совпадает с осью абсцисс (рис. 5, д).

2.5.4. Построение ЛВ внутренних усилий в сечении k балки

а) Линия влияния изгибающего момента Mk в сечении k

(рис. 5, е). Будем, как и выше, рассматривать вначале передвижение груза F 1 по той балке, к которой принадлежит рассматриваемое сечение. При движении груза F 1 по балке DЕG второстепенная балка СD не работает. Следовательно, участок D’E’G’ имеет тот же вид (рис. 5, е), что и линия влияния M K , в простой балке на двух опорах (рис. 4, г). Когда единичный груз находится на балке CD, на балку DEG передаётся усилие R’D и изгибающий момент в сечении k

(рис. 5, е):

-при положении груза F 1 в точке D: R’D=1 и Mk = – 0,4;

-при положении груза F 1 в точке C: R’D=0 и Mk = 0.

При положении F 1 на основной балке ABС, как было отмечено ранее, силы взаимодействия с вышележащим этажом СD и с балкой DЕG отсутствуют и в сечении k никаких усилий не возникает, поэтому соответствующий участок линии влияния совпадает с осевой линией (рис. 5, е).

б) Рассуждая аналогично, строим линию влияния Qk (рис. 5, ж).

23

Рис. 5. Построение линий влияния RE, RA, Mk, Qk

24

2.5.5. В заключение рассмотрим особенности построения линий влияния внутренних усилий в сечении m, расположенном слева от опоры В.

а) Линия влияния изгибающего момента Mm в сечении m

(рис. 6, г). Вначале рассмотрим передвижение груза F 1 по балке ABC, к которой принадлежит сечение m. Сечение m находится в пролёте AB, следовательно, при построении линии влияния используем рис 4, г. Сечение m расположено бесконечно близко к опоре B: a = 3м, b = 0 (см. рис. 6, б). Под опорами А и В откладываем соответственно ординаты a =3 м, b = 0 и строим правую и левую ветви линии влияния (см. рис 6, г). При этом левая ветвь линии влияния совпадает с осевой линией (участок A’B’), а правая – продолжается на консоли ВС. При движении груза F 1 по основной балке DEG силы взаимодействия с вышележащим этажом СD и с балкой ABC отсутствуют, усилия в сечении m не возникают и соответствующий участок линии влияния D’E’G’ совпадает с осевой линией. При движении F 1 по вспомогательной балке CD усилие R’C, передаваемое на балку ABC, меняется по линейному закону от 1 (сила F 1 в точке С) до 0 (сила F 1 в точке D). При этом изгибающий момент Mm линейно изменяется от 2 (сила F 1 в точке С) до 0 (сила F 1 в точке D), что и отражает участок C’D’ линии влияния Mm.

б) Линия влияния поперечной силы Qm в сечении m (рис. 6, д). Как и ранее, построение начинаем с балки ABC, которой принадлежит сечение m. Сечение m находится в пролёте AB, следовательно при построении линии влияния используем рис 4, д. Сечение m расположено бесконечно близко к опоре B, поэтому «скачок» на линии влияния располагаем под опорой В (см. рис. 6, д). Дальнейший ход построения линии влияния не отличается от построения линии влияния Mm.

25

Рис. 6. Построение линий влияния Mm, Qm

26

2.6. Определение усилий от заданной нагрузки по линиям

влияния

2.6.1. Общая формула для определения усилий по линиям влияния

Линии влияния можно использовать для определения внутренних усилий в заданном сечении или реакций в рассматриваемых опорах от заданной неподвижной нагрузки.

Определение усилий от заданной неподвижной нагрузки по линиям влияния производится по формуле

где yi – ордината линии влияния под силой Fi;

ωi – площадь части линии влияния, расположенной под равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью qi;

φi – угол наклона прямолинейного участка линии влияния под моментом Mi.

При определении усилий по линиям влияния следует учитывать следующие правила знаков, принятые при выводе формулы (2):

-внешний момент Mi положителен, если направлен по часовой стрелке;

-угол φi считается положительным, если участок линии влияния до совмещения с осью приходится вращать по часовой стрелке;

-внешние сосредоточенные силы Fi и распределённые нагрузки qi положительны, если направлены вниз.

2.6.2. Определим значения реакций опор, используя формулу (2)

а) Опорная реакция RE. Вычисляем (рис. 5, в, г):

-площадь участка линии влияния RE, находящегося под распределенной нагрузкой ω1 (1, 2 6) / 2 3,6 (м);

-тангенс угла наклона участка линии влияния RЕ в точке приложения сосредоточенного момента tg 1 1, 2 / 6 0, 2 (м-1);

27

- ординаты линии влияния под силой F1 y1 0, 4 ; под силой F2:

y2 0 и под силой F3: y3 0,4.

Размерность величин ω1, tgφ1, y1, y2, y3 для линии влияния опорной реакции обусловлена тем, что ординаты линии влияния безразмерны, а длины участков линии влияния имеют размерность длины (м).

Тогда, согласно формуле (2):

RE F1 0,4 F2 0 F3 0,4 q 3,6 M ( 0,2)

20 0,4 9 0,4 5 3,6 8 ( 0,2) 24кН, что соответствует результату расчёта, приведённого в п. 2.4.3 настоящих методических указаний.

Здесь знаки «–» перед F3, M и tgφ1 поставлены в соответствии с приведёнными выше правилами.

б) Опорная реакция RA.

Вычисляем (рис. 5, в, д): площади участков линии влияния RA, находящихся под распределенной нагрузкой :

ω1 (0,667 8) / 2 2,668 (м), ω2 1 3/ 2 1,5 (м); тангенс угла наклона участка линии влияния RA в точке приложения сосредоточенного момента: tg 1 0 ; ординаты линии влияния под силой F1:

y1 0 , под силой F2: y2 0,667 и под силой F3: y3 0,444 . Тогда, согласно формуле (2):

RA F1 0 F2 ( 0,667) F3 ( 0,444) q (1,5 2,668) M 0

20 0 6 ( 0,667) 9 ( 0,444) 5 (1,5 2,668) 5,84 кН.

Значение RA отрицательно, следовательно, реакция направлена вниз, что соответствует результату расчёта, приведённого в п. 2.4.2 настоящих методических указаний. Напомним, что положительные опорные реакции направлены вверх (см. рис. 3).

2.6.3. Определим внутренние усилия (изгибающий момент и по-

перечную силу) в сечении m.

а) Изгибающий момент Мm. (рис. 6, в, г)

Площадь участка линии влияния Мm, находящегося под распределенной нагрузкой: ω1 (2 8) / 2 8 (м2). Ордината линии влия-

28

ния, расположенная под силой F1: y1 0 ; под силой F2: y2 2 (м) и под силой F3: y3 1,333(м). Тангенс угла наклона участка линии влияния Mm в точке приложения сосредоточенного момента: tg 1 0 . Размерность величин ω1, tgφ1, y1, y2, y3 для линии влияния изгибающего момента обусловлена тем, что и ординаты линии влияния,

идлины участков линии влияния имеют размерность длины (м). По формуле (2) получаем:

Mm F1 0 F2 ( 2) F3 ( 1,333) q ( 8) M 0

20 0 6 ( 2) 9 ( 1,333) 5 ( 8) 8 0 40 кН м (соответст-

вует результату аналитического расчёта, см. рис. 2, г). б) Поперечная сила Qm в сечении m (рис. 6, в, д)

Площади участков линии влияния Qm под распределённой на-

грузкой 1 (1 3) / 2 1,5(м); 2 (0,667 8) / 2 2,668 (м). Ор-

динаты линии влияния под сосредоточенными силами: y1 = 0; y2 = – 0, 667; y3 = – 0, 444. Тангенс угла наклона участка линии влияния в точке k: tg 1 0 .

Подставляя в формулу (2), получаем:

Qm F1 0 F2 ( 0,667) F3 ( 0, 444) q ( 1,5 2,668) M 020 0 6 ( 0,667) 9 ( 0,444) 5 ( 1,5 2,668) 8 0 20,84 кН

(соответствует результату аналитического расчёта, см. рис. 2, г).

2.6.4. Рассмотрим особенности определения изгибающего момента и поперечной силы в сечении k. В сечении k на линиях влия-

ния изгибающего момента и поперечной силы имеются разрывы: - на линии влияния поперечной силы имеется «скачок» на 1;

-на линии влияния изгибающего момента наблюдается изменение угла наклона примыкающих участков линии влияния.

а) Изгибающий момент M k (рис. 5, в, е)

Площади участков линии влияния Мk, находящихся под распределенной нагрузкой: ω1 (0,4 6) / 2 1,2 м2. Ордината линии влияния, расположенная под силой F1: y1 1, 2 ; под силой F2: y2 0 и под силой F3: y3 0,133.

29

В сечении k изгибающий момент не определён: на линии влияния Мk в этой точке имеется перелом. Напомним, что на эпюре М в точке приложения сосредоточенного момента имеется скачок на величину этого момента M (см. рис. 3, в).

Определим значения изгибающего момента бесконечно близко слева и справа от сечения k. Схема участка EG линии влияния Mk показана на рис. 7, а-в.

Сечение расположено слева от точки k (см. рис. 7, б). При этом вершина линии влияния изгибающего момента расположена под сечением, т.е. слева от точки k. Под точкой приложения момента М оказывается правый участок линии влияния с тангенсом угла накло-

на tg 1прав 1, 2 / 2 0,6.

Изгибающий момент слева от точки k по формуле (2):

Mклев F1 y1 F2 y2 F3 y3 q ω1 M tg 1прав

20 1,2 6 0 9 ( 0,133) 5 ( 1,2) 8 ( 0,6) 24кН∙м.

Сечение расположено справа от точки k (см. рис. 7, в). Вершина линии влияния расположена справа от точки k. Под точкой приложения момента М оказывается левый участок линии влияния с тангенсом угла наклона tg 1лев 1, 2 / 3 0, 4 .

Изгибающий момент справа от точки k по формуле (2):

Mкправ F1 y1 F2 y2 F3 y3 q ω1 M tg 1лев

20 1,2 6 0 9 ( 0,133) 5 ( 1,2) 8 0,4 16кН∙м.

б) Поперечная сила Qk в сечении k (рис. 5, в, ж)

Вычисляем: площадь участка линии влияния Qk под распределённой нагрузкой ω1 (0, 2 6) / 2 0,6 (м); тангенс угла наклона участка Еk линии влияния: tg 1 (0,6 / 3) 0, 2 ( м-1); ордината линии влияния, расположенная под силой F2: y2 0 и под силой F3:

y3 0,067 .

Всечении k поперечная сила не определена: на линии влияния Qk

вэтой точке имеется скачок на 1. На эпюре Q в точке приложения

сосредоточенной силы F1 имеется скачок на величину силы F1 (см. рис. 3, б).

30