Kon_lin_an3

Доказательство. Пусть G = fx1; : : : ; xkg H ортонормированная система, x 2 H, i = (x; xi) и x0 = x Pki=1 ixi. Тогда

Следовательно,

k

X

j ij2 kxk2:

i=1

Осталось показать, что x0 ? l(x1; : : : ; xk) = Chx1; : : : ; xki. Действительно,

k

X

= j i(xi; xj) = j j = 0:

i=1

Следовательно, x0 ? Chx1; : : : ; xki.

Теорема 1.2.6. Пусть G = fx1; : : : ; xkg H ортонормированная система векторов. Следующие условия эквивалентны:

(i)G = fx1; : : : ; xkg полная;

(ii)Если x 2 H и (xi; x) = 0 для каждого i = 1, . . . , k, то x = 0;

(iii)ChGi = H;

(iv)Для любого x 2 H имеет место разложение

k

X

x = (x; xi)xi;

i=1

(v) Для любых x, y 2 H имеет место равенство

k

X

(x; y) = (x; xi)(xi; y);

i=1

11

(vi) Для любого x 2 H имеет место равенство

Доказательство. (i) ) (ii). Допустим, что x 2 H, (xi; x) = 0 для каждого i = 1, . . . , k, но x 6= 0. Тогда

G1 = fx1; : : : ; xk; xg

ортогональная система векторов, которая содержит полную ортогональную систему G, что невозможно. Следовательно, x = 0.

(ii) ) (iii). Если x 2 H и x 2= Chx1; : : : ; xki, то вектор

k

X

x0 = x (x; xi)xi 6= 0

i=1

и x0 ? xi для любого i = 1, . . . , k. Но тогда, по (ii), x0 = 0. Противоречие показывает, что ChGi = H.

(iii) ) (iv). Так как ChGi = H, то любой вектор x 2 H представим в

виде

k

X

x = ixi:

i=1

Тогда

kk

XX

т.е.

k

X

x = (x; xi)xi:

i=1

(iv) ) (v). Пусть x, y 2 H и x = Pki=1(x; xi)xi. Тогда

XX

(v) ) (vi). Полагая в предыдущем равенстве x = y, получим

12

(vi) ) (i). Если бы ортонормированная система G = fx1; : : : ; xkg содержалась в большей ортогональной системе G1 = fx1; : : : ; xk; x0g, то для любых i = 1, . . . , k выполнялись бы равенства (x0; xi) = 0, причем x0 6= 0.

Но тогда

k

X

kx0k2 = j(x0; xi)j2 = 0;

i=1

т.е., x0 = 0. Противоречие показывает, что система G = fx1; : : : ; xkg полная.

Из теоремы 1.2.6 следует, что любая полная ортонормированная система G является базисом конечномерного гильбертова пространства H и содержит ровно dim H элементов. Следовательно, все полные ортонормированные системы векторов конечномерного гильбертова пространства H содержат одинаковое число элементов. Число элементов полной ортонормированной системы векторов H называется его гильбертовой размерностью. Таким образом, гильбертова и векторная размерности пространства H совпадают.

Полную ортонормированную систему называют ортонормированным базисом гильбертова пространства H.

Система векторов G = fe1; : : : ; eng является ортонормированным базисом конечномерного гильбертова пространства H, если

эта система является полной: ChGi = H;

эта система является ортонормированной:

Теорема 1.2.7. В каждом конечномерном гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базис.

Доказательство. В доказательстве используется процесс ортогонализации Грама–Шмидта.

Пусть fx1; : : : ; xng произвольный базис гильбертова пространства H.

Обозначим

x1 e1 = kx1k:

Найдем вектор z2 = x2 + e1 удовлетворяющий условию (z2; e1) = 0, т.е.,

(x2 + e1; e1) = 0. Тогда (x2; e1) + ( e1; e1) = 0 и

= (x2; e1) = (x2; e1): (e1; e1)

13

Следовательно,

z2 = x2 (x2; e1)e1:

Так как векторы x1 и x2 линейно независимы, то z2 6= 0. Полагаем

z2 e2 = kz2k:

Остальные векторы feigi>3, будем строить по индукции.

Допустим, что векторы e1, . . . , ek 1, k 3, уже построены, где keik = 1,

(ei; ej) = 0 при i 6= j и ei 2 l(x1; : : : ; xi), i = 1, . . . , k 1.

Найдем вектор zk = xk+ 1e1+ 2e2+ k 1ek 1, ортогональный векторам e1, . . . , ek 1. Коэффициенты 1, . . . , k 1 находим из условия ортогональности:

8

<(xk + 1e1 + 2e2 + k 1ek 1; e1) = 0;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: (xk + 1e1 + 2e2 + k 1ek 1; ek 1) = 0:

Так как векторы e1, . . . , ek 1 попарно ортогональны и имеют единичные нормы, то эти равенства преобразуются к виду:

Следовательно,

k 1

X

zk = xk (xk; ei)ei:

i=1

Ясно, что zk 6= 0, так как в противном случае вектор xk принадлежал бы линейной комбинации векторов x1, . . . , xk 1, что не так. Кроме того, zk ? ej, j = 1, . . . , k 1. Осталось положить

zk ek = kzkk:

Продолжая этот процесс, пока не будут исчерпаны все векторы fx1; : : :; xng выбранного базиса, получим n отличных от нуля попарно ортогональных векторов fe1; : : : ; eng, имеющих единичные нормы, т.е. ортонормированный базис в H.

14

Определение 1.2.8. Пусть fe1; : : : ; eng ортонормированный базис про-

странства H, x 2 H и

n

X

x = (x; ei)ei:

i=1

Числа ci = (x; ei) называются координатами или коэффициентами Фурье

вектора x в ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng.

Замечание 1.2.9. Пусть fe1; : : : ; eng ортонормированный базис в H,

x 2 H и

n

X

x = ciei;

i=1

где ci = (x; ei) коэффициенты Фурье вектора x. Тогда в силу утверждения 1.2.5 и теоремы 1.2.6 имеем:

Если fe1; : : : ; ekg fe1; : : : ; eng, k n, то

k

X

jcij2 kxk2; (Неравенство Бесселя)

i=1

причем при k < n вектор x0 = x Pki=1 ciei ортогонален подпространству M = l(e1; : : : ; ek) = Che1; : : : ; eki.

Если y 2 H, y = Pni=1 c0iei, то

n

X

(x; y) = cici;

i=1

Выполнено равенство

Приведем примеры ортогональных базисов.

Пример 1.2.10. Пусть H пространство многочленов степени не выше чем (n 1) над полем C, определенных на [ 1; 1], со скалярным произведением

Z 1

(p; q) = p(t)q(t) dt:

1

15

Возьмем линейный базис 1, t, . . . , tn 1. Процесс ортогонализации приводит нас к последовательности многочленов:

Эти многочлены, с точностью до множителей, совпадают с многочленами

которые называются многочленами Лежандра. (Сами многочлены Лежандра образуют ортогональный, но не ортонормированный базис в H).

Пример 1.2.11. Пусть H пространство многочленов степени не выше чем (n 1) над полем C, определенных на [ 1; 1], со скалярным произведением

Возьмем линейный базис 1, t, . . . , tn 1. Процесс ортогонализации приводит нас к последовательности (ортогональных, но не нормированных) многочленов

Tn(t) = 2n1 1 cos(n arccos x);

которые называются многочленами Чебышева первого рода.

Пример 1.2.12. Пусть H пространство всех многочленов не выше чем (n 1) над полем C, определенных на (1; +1), со скалярным произведением

+1

Z

(p; q) = p(t)q(t)e t2 dt:

1

Возьмем линейный базис 1, t, . . . , tn 1. Процесс ортогонализации приводит нас к последовательности (ортогональных, но не нормированных) много-

членов

Hn(t) = ( 1)net2 dne t2 ; dtn

которые называются многочленами Чебышева-Эрмита.

16

Пример 1.2.13. Пусть H (2n + 1)-мерное пространство тригонометрических многочленов многочленов n-го порядка на (0; 2 ):

Система функций

f1; cos t; sin t; : : : ; cos nt; sin ntg

образуют ортогональный базис в H. Так как

образуют в H ортонормированный базис.

Пример 1.2.14. Пусть H пространство всех комплексных функций f(t) вещественного аргумента, кусочно-непрерывных на [0; 2 ]. Скалярное произведение двух функций f(t) и g(t) определяется формулой:

17

Функции feiktg+k=1 1 образуют ортогональный базис в H:

no

Поэтому функции p12 eikt ; k = 0; 1; 2; : : : образуют ортонормированный базис в H.

Пусть B = fe1; : : : ; eng и B0 = fe01; : : : ; e0ng два различных базиса гильбертова пространства H. Разложим каждый из векторов fe1; : : : ; eng

базиса B по базису B0:

nn

XX

где ci = (x; ei), c0i = (x; e0i), i = 1, . . . , n. Подставляя (1.1) в (1.2), получим, что координаты вектора x относительно базисов B и B0 удовлетворяют

соотношению:

Найдем условия, которым должны удовлетворять коэффициенты jk, j, k = 1, . . . , n в разложении (1.1). Скаларно умножая последовательно каждое из равенств (1.1) на вектор ei, i = 1, . . . , n, получим:

Так как базис B = fe1; : : : ; eng ортонормированный, то

18

Преобразования, обратные к (1.1) и (1.3) имеют вид:

XX

1.3Подпространства гильбертова пространства

Пусть M линейное подпространство в H и x 2 H.

Определение 1.3.1. Расстоянием от вектора x до подпространства M называется число

d(x; M) = inffkx yk: y 2 Mg:

Теорема 1.3.2. Пусть x 2 H. Тогда для любого подпространства M в H существует единственный вектор yM 2 M такой, что

d(x; M) = minfkx yk: y 2 Mg = kx yMk:

Доказательство. Пусть fe1; : : : ; emg ортонормированный базис в M. Дополним его до ортонормированного базиса

fe1; : : : ; em; em+1; : : : ; eng

в H. Тогда для любого

m

X

y = iei 2 M

i=1

19

имеем:

mm

XX

kx yk2 = x iei; x iei =

где ci = (x; ei) коэффициенты Фурье вектора x в ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng. Минимум kx yk2 достигается, когда последнее сла-

гаемое равно нулю:

m

X

jci ij2 = 0;

i=1

т.е. при i = ci, i = 1, . . . , m. Обозначим yM = Pmi=1 ciei: Тогда

m

X d(x; M) = minfkx yk: y 2 Mg = kx yMk = kxk2 jcij2:

i=1

Замечание 1.3.3. Вектор yM, на котором достигается расстояние d(x; M) от вектора x до подпространства M, однозначно определяется коэффициентами Фурье ci = (x; ei), i = 1, . . . , m вектора x по ортонормированному

базису fe1; : : : ; eng:

m

X yM = ciei:

i=1

20