- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава III. Евклидовы пространства
- •§ 1. Определения, примеры и простейшие свойства
- •Свойства скалярного произведения
- •§ 2. Длины и углы в евклидовых пространствах
- •Свойства длины в евклидовых пространствах
- •§ 3. Ортогональные базисы евклидовых пространств
- •§ 4. Изоморфизм евклидовых пространств
- •Глава IV. Теория линейных операторов в векторных пространствах
- •§ 1. Определение и простейшие свойства
- •Простейшие свойства линейных операторов
- •§ 2. Матричный формализм в векторных пространствах
- •Простейшие свойства матричного формализма
- •§ 3. Матрица перехода от базиса к базису
- •Свойства матрицы перехода
- •Изменение координатного столбца при переходе от базиса к базису
- •§ 4. Матрица линейного оператора
- •Координатная форма записи линейного оператора
- •Изменение матрицы линейного оператора при переходе от базиса к базису
- •Свойства матрицы линейного оператора
- •§ 5. Образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора
- •§ 6. Инвариантные подпространства линейного оператора
- •§ 7. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •§ 8. Подобные матрицы и их спектральные задачи
- •§ 9. Post Scriptum : о подобии матриц
- •§ 10. Спектр симметричного оператора Ортогональные дополнения подпространств евклидова пространства
- •Симметричные линейные операторы
- •Глава V. Дифференцирования в банаховых пространствах
- •§ 1. Метрические пространства
- •Матричные нормы
Свойства скалярного произведения
10. скалярное произведение аддитивно по второму аргументу:
u, v, w V (u , v + w) = (u , v) + (u , w).
Действительно, используя свойства симметричности и аддитивности по первому аргументу, имеем:
(u , v + w) = (v + w, u) = (v, u) + (w, u) = (u, v) + (u, w) .
20. скалярное произведение однородно по второму аргументу:
u, v V R (u, v) = (u, v).
Аналогично предыдущему, (u, v) = (v, u) = (u, v).
30. v V (v, 0) = (0, v) = 0 .
В самом деле, по свойству 20, (v, 0) = (v, 00) = 0(v, 0) = 0.
40. скалярное произведение билинейно: k, n N u1 , … , un , v1 , … , vk V
1 , … , n , 1 , … , k R .
В самом деле, используя свойства аддитивности и однородности, имеем:
50. Пусть V – конечномерное векторное пространство со скалярным произведением и базисом (e1 , … , en ). Тогда скалярное произведение однозначно определяется значениями (ei , ej ) (1 n).
Если , то. Таким образом, скалярное произведение векторов u, v V полностью определяется их координатами i , j и указанными скалярными произведениями базисных векторов.
60. Если V – конечномерное векторное пространство со скалярным произведением и базисом e = (e1 , … , en), где (ei , ej) = , то u, v V (u, v) = [u]e[v]e (напомним, что [x]e – координатная строка вектора x V в базисе e).
Если , то.
Любая упорядоченная пара (V, (_, _)), где V – векторное пространство, а (_, _) – скалярное произведение на V , называется евклидовым пространством. Необходимость такого формализма вызвана тем, что скалярное произведение на V можно задать по-разному. Поэтому, например,
(R2, (u, v) = x1y1 + 2x2y2) (R2, (u, v) = x1y1 + x2y2).
Евклидово пространство (Rn, (u, v) = x1y1 + … + xnyn) называется стандартным n-мерным евклидовым пространством, а скалярное произведение, заданное в нём – стандартным скалярным произведением в Rn.
§ 2. Длины и углы в евклидовых пространствах
Пусть (V, (_, _)) – евклидово пространство. Для каждого v V назовём длиной v (или его нормой) величину |v| = . Ввиду свойства неотрицательности скалярного произведения, длина любого вектора определена.
Свойства длины в евклидовых пространствах
10. v V |v| 0, v V |v| = 0 v = 0.
Оба утверждения выполнены ввиду свойства неотрицательности и свойства 30 скалярного произведения.
20. v V R |v| = |||v|.
Это верно ввиду однородности скалярного произведения (?!).
30. u, v V |(u , v)| |u||v| – неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
Действительно, пусть t – произвольное действительное число. Тогда, по свойствам скалярного произведения имеем:
0 (u + tv, u + tv) = (u, u) + 2t(u, v) + t2(v, v).
Итак, полученный квадратный трёхчлен всюду неотрицателен. Поэтому его дискриминант неположителен: D = (2(u , v))2 – 4(u, u)(v, v) 0,т.е. (u, v)2 (u, u)(v, v) = (|u||v|)2 , что и требовалось.
40. u, v V | u + v| |u| + |v| – неравенство треугольника.
| u+v| |u| + |v| | u+v|2 (|u| + |v|)2
(u + v, u + v) (u, u) + 2+ (v, v)
(u , u)+2(u , v)+(v, v) (u , u) + 2 + (v , v)
(u , v) .
Последнее неравенство следует из неравенства Коши-Буняковского. (А почему справедлива первая эквивалентность в этой цепочке ?!).
Итак, в евклидовых пространствах можно оперировать с длинами, как в обычной геометрии на плоскости. Оказывается эта аналогия идёт ещё дальше: в евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между векторами. Именно, пусть u, v – два ненулевых вектора евклидова пространства V . По неравенству Коши-Буняковского, 0 1. Поэтому существует однозначно определённый угол [0, ], косинус которого равен . Назовем его углом между ненулевыми векторами u и v из векторного пространства V.
Понятие угла позволяет доказывать для произвольного евклидова пространства аналоги обычных теорем плоской геометрии. Например, аналог теоремы косинусов выглядит так:
Теорема (косинусов для евклидовых пространств). Пусть a, b – произвольные ненулевые элементы евклидова пространства V (аналоги смежных сторон треугольника). Тогда |a – b|2 = |a|2 + | b|2 – 2|a||b|cos , где – угол между векторами a , b.
Доказательство. По свойствам скалярного произведения и определению длин и угла, имеем:
|a – b|2 = (a – b, a – b) = (a , a) – 2(a , b) + (b , b) = |a|2 + |b|2 – 2|a||b|cos .
Теорема доказана.
Упражнение. докажите аналоги теоремы Пифагора и теоремы синусов.