2.2. Определение равновесной цены и спроса (предложения) аналитическим методом

Точка равновесия спроса и предложения может быть найдена аналитически путем совместного решения системы уравнений (2.1) и (2.2). Приравнивая эти две квадратичные функции, получаем уравнение второго порядка с одним неизвестным Q:

, (2.19)

где постоянные а, b, c определяются по формулам:

; ;. (2.20)

Решением квадратного уравнения (2.19) будут два корня, определяемые по формуле

, (2.21)

однако экономический смысл имеет только один из них, соответствующий положительному знаку перед радикалом, Q_bal = 2,186. Эта величина и есть равновесный спрос (предложение).

Равновесная цена определится из уравнения (2.1) или (2.2):

= 88.26; (2.22)

= 88.26. (2.23)

На рис. 2.3 графически представлено решение уравнения (2.19).

Рис. 2.3. Пересечение кривых спроса и предложения

Как видно из рис. 2.3, только одна точка пересечения парабол находится в области определения функций спроса и предложения.

2.3. Определение эластичности спроса и предложения от цены

Адекватным математическим понятием, характеризующим связь между изменением цены на реализуемую продукцию и объемом продаж, является эластичность спроса от цены E_D. Она определяется как отношение

E_D = – (Процентное изменение спроса) / (Процентное изменение цены). (2.24)

Исходя из определения (2.24), получаем рабочую формулу для расчета эластичности спроса от цены:

E_D = – , (2.25)

где Р и Q — соответственно цена и спрос; Р и Q — их абсолютные изменения. Часто располагают лишь двумя близкими значениями цены P₁ и P₂ и соответствующего им спроса. Тогда рассчитывают дуговую эластичность, которая, исходя из общей формулы (2.25), будет определяться как отношение

E_D = – , (2.26)

где Р_ср и Q_ср — соответственно средние цена и спрос; Р и Q — абсолютные изменения цены и спроса соответственно, рассчитываемые по простым формулам:

Р_ср = (P₁ + P₂)/2; Р = (P₂ – P₁);

Q_ср = (Q₁ + Q₂)/2; Q = (Q₂ – Q₁). (2.27)

Из теории дифференциального исчисления известно, что более адекватным понятием является так называемая точечная эластичность спроса от цены, определяемая по кривой спроса как

E_D = – , (2.28)

где — скорость изменения спроса при изменении цены.

Аналогично, эластичность предложения от цены E_S определяется как отношение

E_S = (Процентное изменение предложения) / (Процентное изменение цены). (2.29)

В отличии от формулы (2.24), здесь вместо знака () перед отношением стоит знак (+), поскольку предложение с ростом цены увеличивается (спрос, напротив, уменьшается).

По аналогии, точечная эластичность предложения от цены определяется по кривой предложения как

E_S = , (2.30)

где — скорость изменения предложения при изменении цены.

Располагая функциями спроса и предложения в виде квадратичных функций (2.1) и (2.2), можно рассчитать значения эластичности E_D и E_S в точке равновесия.

Так как мы располагаем функциями спроса и предложения в виде зависимости P от Q, то по ним можно рассчитать производные в точке равновесия:

23,86; (2.31)

9,744. (2.32)

Обратные им производные соответственно равны:

1/23.86 = 0.0419;

1/(9.744) = 0.1026.

Подставляя в формулы (2.28) и (2.30) значения производных и равновесных Q_bal = 2.186 и = 88.26, получаем:

E_S (Q_bal) = (88.26/2.186)*0.0419 = 1.69; (2.33)

E_D (Q_bal) = (88.26/2.186)*(0.1026) = 4.14. (2.34)

Итак, в точке рыночного равновесия эластичность предложения по цене составляет 1,69. Эластичность спроса по цене в точке рыночного равновесия еще выше — 4,14.