Задание 8
Решите уравнения:
177.
.178.
.
179.
.180.
.
181.
.182.
.
6. Введение вспомогательного аргумента
Уравнения
вида
.
Для его решение, разделим левую часть
уравнения на квадратный корень из суммы
его коэффициентов, т. е. на
,
чтобы уравнение не изменилось, на это
же выражение умножим левую часть
уравнения, т. е. выполним следующие
преобразования:
,
где
.
Пример
183. Решить уравнение
.
Решение
Разделим
и умножим левую часть уравнения на
,
получим уравнение:
,
,
Ответ:
.
Пример
184. Решить уравнение
.
Решение
Преобразуем уравнение: разделим и умножим левую часть уравнения на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinx и cosx, т. е. на
.
Уравнение
примет вид:
Ответ:
.
Замечание.
Мы не совсем строго решили второе
уравнение, определяющее значение
вспомогательного аргумента
.
Из того, что
получаем
.
Дело в том, что этот аргумент нами выбирается произвольно, сами. Поэтому берем лишь одно частное решение, какое нам нравится. Обычно выбирается угол в первой четверти.
Пример
185. Решить уравнение
.
Решение
Перенесем число 2 в правую часть и разделим обе части уравнения на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinx и cosx, получим:
.
Заменим
.
Получим уравнение
.
Ответ:
.
Пример
186. Решите уравнение
Решение
Преобразуем уравнение
Пусть
,
получим квадратное уравнение
,
.
,
значит,
,
следовательно, уравнение
имеет решения.
.
Ответ:
.
Пример
187. Решить уравнение
.
Решение
Преобразуем
уравнение:
.
Разделим
обе части уравнения на 2, так как
,
получим:
.
Заменим
в левой части уравнения
,
а в правой части уравнения
.
Получим уравнение:
,
,
.
Ответ:
Задание 9
Решите уравнение
188.
.189.
.
190.
.191.
.
192.
.194.
.
195.
.196.
.
197.
.198.
.
199.
.
7. Системы тригонометрических уравнений
200.
Решите систему уравнений:
Решение
Преобразуем
систему
Ответ:
201.
Решите систему уравнений:
Решение
Из первого уравнения выразим x и подставим во второе уравнение системы:
Решим второе уравнение:
Отсюда находим:
.
Найдем
значения x:
.
Ответ:
202.
Решите систему уравнений:
Решение
Выразим из первого уравнения y и подставим во второе уравнение:
Решим
второе уравнение системы:
.
Получим совокупность уравнений:
Найдем значения y:
.
Ответ:
Задание 10
Решите системы уравнений:
203.
204.
205.
206.
Решить систему уравнений
Решение
Сложим почленно уравнения системы и вычтем из первого уравнения второе, получим систему уравнений:
Ответ:
Замечание. В каждом уравнении системы необходимо для множеств целых чисел использовать различные буквы!
Если бы мы использовали для множества решений двух уравнений одну букву
то после сложения-вычитания двух уравнений, получили бы решение в виде
Произошла бы "потеря решений", что недопустимо!
207.
Решить систему уравнений:
Решение
Сложим левые и правые части уравнений системы, получим:
.
Применим к левой части уравнения формулу косинуса разности двух углов:
.
Получим
уравнение:
.
Вычтем
из второго уравнения первое:
.
Применим к левой части уравнения формулу косинуса суммы двух углов:
.
Получим
уравнение:
.
Из полученных двух уравнений составим систему:
;
вычитая из второго уравнения первое, найдем значения y:
.
Ответ:
208.
Решить систему уравнений:
Решение
Сложим второе уравнение с первым, а затем вычтем из второго уравнения первое. В первом случае, применим формулу косинуса разности двух углов, а во втором косинуса суммы двух углов:
.
.
Получим новую систему уравнений:
,
.
Ответ:
.
Задание 11
Решить систему уравнений:
209.
210.
211.
Ответы
к заданиям «Основные методы решения тригонометрических уравнений»
К заданию 1
29.
.33.
34.
.35.
36.
37.
К заданию 2
60.
.63.
.
67.
.68.
.
69.
.70.
.
71.
.73.
.
74.
.
К заданию 3
97.
99.
.
К заданию 5
123.
.124.
.
126.
.
К заданию 6
139.
141.
142.
.
К заданию 7
157.
.158.
.
161.
К заданию 9
195.
196.
