- •85 Тишин в. И. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- •Тригонометрические уравнения
- •1. Метод разложения на множители
- •Пример 12. Решить уравнение
- •Задание 1
- •2. Метод замены переменных и сведение к алгебраическим уравнениям
- •2.1. Применение формул двойного и половинного аргумента
- •2.2. Применение формул приведения
- •Задание 2
- •3. Уравнения, однородные относительнои
- •3.1. Применение формул приведения
- •Задание 3
- •Задание 4
- •4. Метод замены переменных
- •4.1. Замена.
- •Задание 5
- •4.2. Замена
- •4.3. Случаи, когда в уравнении не содержится
- •4.4. Случаи, когда аргументы кратны 2x и X
- •Задание 6
- •4.5. Замена. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Задание 7
- •5. Метод оценки левой и правой частей уравнения
- •Задание 8
- •6. Введение вспомогательного аргумента
- •Задание 9
- •7. Системы тригонометрических уравнений
- •Задание 10
Задание 1
Решите уравнения
27. .28. .
29. .
30. 31. .
32. 33. .
34. .35. .
36. .37. .
2. Метод замены переменных и сведение к алгебраическим уравнениям
Пример 38. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение. Применим тождество , получим уравнение:
. Положим , получим систему:
,
.
Ответ: .
Пример 39. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение:
,
,
Ответ: .
Пример 40. Решите уравнение.
Решение
Преобразуем уравнение:
. Пусть sin2x = y, , получим
,
.
Ответ: .
Пример 41. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение, используя формулу , получим уравнение:.
Пусть , приходим к системе:
.
.
Ответ: .
Пример 42. Решите уравнение
Решение
Преобразуем уравнение:
.
Положим , получим:
,
.
Ответ: .
2.1. Применение формул двойного и половинного аргумента
Пример 43. Решите уравнение .
Решение
Используем формулу , получим уравнение:
.
Положим , получим,
.
Ответ: .
Пример 44. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение, применив формулу: .
Получим уравнение: .
Пусть , тогда:
,
.
Ответ: .
Пример 45. Решите уравнение.
Решение
Область допустимых значений: .
Преобразуем уравнение:
Из области допустимых значений следует, что приn = 4m - 1 получим: , значит, второе множествоне входит в область допустимых значений.
Проверим первое множество значений:
При получим:
. Совершенно очевидно, что найдутся целые значения n, при которых k будет равняться полученной дроби. Эти значения должны быть исключены из множество решений.
Ответ: ,.
2-й способ
Область допустимых значений: .
Преобразуем уравнение:
.
.
Пусть , получим уравнение,
оба значения удовлетворяют условию
Получим совокупность уравнений:
.
Оба множества значений x входят в область допустимых значений.
Проверим, входят ли в область допустимых значений .
. При - это неравенство не выполняется, т. е.n = 2k + 1, значит не входят в область допустимых значений и не являются корнями уравнения.
Ответ: .
Пример 46. Решите уравнение
Решение
Для решения уравнения применим формулу: , в которой положим, тогда,, получим уравнение:
.
Положим ,получим:
,
.
Ответ: .
Пример 47. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение, применив формулу: , тогда получим уравнение:
.
Положим , получим:
,
,
.
Ответ: .
Пример 48. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение, используя формулы:. Тогда уравнение примет вид:
Положим получим:.
Отсюда находим: .
Ответ: .
Пример 49. Решите уравнение.
Решение
Преобразуем уравнение, применяя тождество , получим уравнение:.
Пусть , получим:
,
.
Ответ:.
Пример 50. Решите уравнение .
Решение
Имеем уравнение, содержащее одинаковые функции с разными аргументами.
Преобразуем функцию к той же функции, но содержащей аргумент 2x.
Для этого применим формулу: . Подставляя в уравнение, получим:.
Положим , тогда получим систему:
.
Получим совокупность уравнений:
Ответ:
Пример 51. Решите уравнение .
Решение
Применим формулу , получим уравнение:.
Положим , получим смешанную систему:
,
Ответ: .