- •85 Тишин в. И. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- •Тригонометрические уравнения
- •1. Метод разложения на множители
- •Пример 12. Решить уравнение
- •Задание 1
- •2. Метод замены переменных и сведение к алгебраическим уравнениям
- •2.1. Применение формул двойного и половинного аргумента
- •2.2. Применение формул приведения
- •Задание 2
- •3. Уравнения, однородные относительнои
- •3.1. Применение формул приведения
- •Задание 3
- •Задание 4
- •4. Метод замены переменных
- •4.1. Замена.
- •Задание 5
- •4.2. Замена
- •4.3. Случаи, когда в уравнении не содержится
- •4.4. Случаи, когда аргументы кратны 2x и X
- •Задание 6
- •4.5. Замена. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Задание 7
- •5. Метод оценки левой и правой частей уравнения
- •Задание 8
- •6. Введение вспомогательного аргумента
- •Задание 9
- •7. Системы тригонометрических уравнений
- •Задание 10
Пример 12. Решить уравнение
Решение
Преобразуем уравнение:
Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Второе уравнение совокупности решений не имеет, поскольку
Первое уравнение решим как однородное. Разделим обе его части на в противном случае, из уравнения, получим, что ичто невозможно). В результате деления на , приходим к уравнению:
Ответ:
Пример 13. Решите уравнение.
Решение
Преобразуем уравнение:
.
Это уравнение равносильно совокупности уравнений:
Ответ:
Пример 14. Решить уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение: . Применим тождество преобразования суммы синусов в произведение:.
Учитывая, что cosx функция четная, получим: .
Уравнение примет вид: .
Это уравнение равносильно совокупности уравнений:
.
Ответ: .
Пример 15. Решите уравнение.
Решение
Преобразуем уравнение, применяя тождество понижения порядка
, получим:
Ответ:
Пример 16. Решите уравнение
.
Решение
Преобразуем произведение функций в сумму, получим
Ответ:
Пример 17. Решите уравнение
.
Решение
Преобразуем уравнение, применяя формулы приведения:
.
Ответ: .
Пример 18. Решите уравнение
Решение
Область допустимых значений:
Преобразуем уравнение, заменив 1 на и преобразуя разность синусов, в правой части уравнения, в произведение. Тангенс, заменим на частное от деления синуса на косинус.
Отсюда находим
Определим, входят ли полученные значения в область допустимых значений.
Для этого, установим, найдутся ли такие целые значения n, k, m, при которых:
Из этих неравенств видно, что ни при каких целых значениях k и n значения x не выйдут за область допустимых значений, т. е. оба множества корней входят в область допустимых значений и являются решениями уравнения.
Ответ: .
Пример 19. Решить уравнение
Решение
Преобразуем уравнения, используя формулы приведения и формулы преобразования произведения синусов и косинусов в сумму:
Ответ:
Пример 20. Решить уравнение
Решение
В правой части уравнения разложим разность квадратов на множители, а затем применим формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:
Левую часть уравнения преобразуем, используя формулы преобразования суммы синусов в произведение:
Уравнение примет вид:
,
Ответ: .
Пример 21. Решить уравнение .
Решение
Область допустимых значений:
Преобразуем уравнение:
.
Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:
- все значения входят в ОДЗ.
Ответ:
Пример 22. Решить уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение, применяя формулу приведения:
,
. Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Ответ: .
Пример 23. Решите уравнение.
Решение
Преобразуем уравнение:
.
- это однородное уравнение первой степени, относительно sinxиcosx,.
Если допустить, что cosx= 0, тогда из уравнения следует,sinx= 0, но при одном и том же значенииxэто невозможно.
Разделим обе части уравнения на cosx, получим:
.
Ответ:;.
Пример 24. Решите уравнение.
Решение
Преобразуем уравнение:
.
Полученное уравнение равносильно совокупности:
Уравнение cosx= 1,5 корней не имеет. Уравнениеcosx-sinx= 0 однородное первой степени относительноsinxиcosx,.
Если допустить, что cosx= 0, тогда из уравнения следует,sinx= 0, но при одном и том же значенииxэто невозможно.
Разделим обе части уравнения на cosx, получим:
.
Ответ: .
Пример 25. Решите уравнение5sinx=sin3x.
Решение
Преобразуем уравнение:
.
Ответ:.
Пример 26. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение, используя тождества:
и .
Получим уравнение:
.
Ответ: .