2.2. Применение формул приведения

Пример 52. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулы приведения:

.

Положим , получим систему:

.

или

и /

Ответ: илии .

Пример 53. Решите уравнение .

Решение

Найдем область допустимых значений переменной:

.

Таким образом, область допустимых значений определяется неравенством:

.

Преобразуем уравнение:

,

.

Поскольку из области допустимых значений следует, что , то получаем уравнение:

Положим , приходим к системе:

.

.

Определим, входят ли полученные значения в область допустимых значений.

Для этого, установим, найдутся ли такие целые значения n, m, при которых: . Таких целых значений n и m нет, т. е. , значит входят в область допустимых значений.

Ответ: .

Пример 54. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение: ,

,

. Пусть ,

получим:

.

.

Ответ: .

Пример 55. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем уравнение:

,

,

,

.

Преобразуем уравнение, применяя тождество:

, а также тождество

, получим уравнение:

,

,

. Пусть , получим:

.

.

Ответ: .

Пример 56. Решите уравнение .

Решение

Область определения: .

Преобразуем уравнение:

.

Преобразуем уравнение, применяя тождество , получим уравнение:

или

.

Пусть , тогда получим уравнение:. Нетрудно заметить, чтоy = 1 является корнем уравнения: при y = 1 получим: , значит, его левая часть можно разложить на множители, одним из которых являетсяy - 1.

Преобразуем уравнение:

,

.

Определим, какие из значений полученных переменных входят в область допустимых значений.

входит в о. д. з.

- это значит, что

или не входит в область допустимых значений.

Ответ: .

Пример 57. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, применяя тождество , в котором положим, тогда, получим уравнение:

.

Пусть , получим

.

.

Ответ:

Задание 2

Решите уравнения.

58. .59. .

60. .61. .

62. .63. .

64. .65. .

66. .67. .

68. .69. .

70. .

71. .72. .

73. .74. .

75.

3. Уравнения, однородные относительнои

Определение. Рассмотрим уравнение вида

где - действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения (1) степени одночленов равны n, т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна n. Такое уравнение называетсяоднородным относительно и, а число n называетсяпоказателем однородности.

Ясно, что если , то уравнение примет вид:

решениями которого являются значения x, при которых , т. е. числа. Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же , то эти числа не являются корнями уравнения (1).

При получим:,и левая часть уравнения (1) принимает значение.

Итак, при ,и, поэтому можно разделить обе части уравнения на. В результате получаем уравнение:

которое, подстановкой легко сводится к алгебраическому:

.

1. Однородные уравнения с показателем однородности 1. При имеем уравнение.

Если , то это уравнение равносильно уравнению,,

откуда .

Пример 76. Решите уравнение .

Решение

Это уравнение однородное первой степени . Разделим обе его части на получим:.

Ответ: .

Пример 77. При получим однородное уравнение вида

.

Решение

Если , тогда разделим обе части уравнения на, получим уравнение, которое подстановкойлегко приводится к квадратному:. Если, то уравнение имеет действительные корни. Исходное уравнение будет иметь две группы решений:.

Если , то уравнение не имеет решений.

Пример 78. Решите уравнение .

Решение

Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим:. Пусть, тогда,,..

Ответ: .

3. К уравнению вида (1) сводится уравнение

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

В частности, уравнение сводится к однородному, если заменить d на, тогда получим равносильное уравнение:

.

Пример 79. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение к однородному:

.

Разделим обе части уравнения на , получим уравнение:

. Пусть , тогда приходим к квадратному уравнению:.

.

Ответ: .

Пример 80. Решите уравнение .

Решение

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: ,

.

Пусть , тогда получим.

.

Ответ: .

Пример 81. Решите уравнение .

Решение

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: ,

.

Получили однородное уравнение: .

Пусть ,

,

.

Ответ: ,.