2DYNAM

23

Глава 2. Динамика

Решение задач динамики надо начинать с изготовления рисунка, на котором изображено тело (или несколько тел) и действующие на него силы. Каждая сила должна указывать на взаимодействие тела с каким-либо другим конкретным телом и иметь вполне определенную физическую природу (сила тяжести, сила упругости, сила трения, и т.д.). В некоторых случаях как природа силы, так и ее источник не конкретизируются, просто говорится, что действует внешняя сила, приводящая тело в движение (такую силу часто называют силой тяги). На рисунке следует также изобразить направление ускорения (если оно известно) и положительные направления осей координат. Только после этого можно записывать уравнение движения — второй закон Ньютона (обычно в проекции на одну или несколько осей).

Задача 1. С какой силой нужно действовать на тело массой 10 кг, чтобы оно двигалось вертикально вниз с ускорением 5 м/с2? g = 10 м/с2.

На тело действуют сила тяжести и сила тяги. Поскольку направление силы тяги заранее не известно, ее можно условно изобразить действующей в произвольном направлении (если получится отрицательный ответ, то сила направлена в противоположную сторону). Положительное направление выбирают обычно по ускорению (чтобы не забыть поставить минус перед

ma). 2-ой закон Ньютона в проекции на положительное направление принимает вид

F + mg = ma,

откуда получаем F = m(a g) = 50 Н. Значит, величина силы равна 50 Н и она направлена не вниз, а вверх.

Замечание. Силу неизвестного направления удобно изображать действующей в положительном направлении оси. Тогда мы найдем проекцию силы на ось, и знак ответа укажет направление силы по отношению к оси.

Задача 2. Чему равен вес стоящего в лифте человека массой 70 кг, если лифт опускается с ускорением, направленным вниз и равным 3 м/с2? g = 10 м/с2.

Вес тела приложен не к человеку, а к опоре (к полу), поэтому вместо веса будем искать силу реакции пола, которая действует на человека и по 3-му закону Ньютона равна весу по модулю (P = N). Кроме реакции пола, на человека действует сила тяжести. Выбирая положительное направление оси вниз (по ускорению), получим

mg N = ma,

откуда P = N = m(g a) = 490 Н.

24

Задача 3 . Тело массой 1 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью 40 м/с, достигло высшей точки подъема через 2,5 с. Найдите значение силы сопротивления воздуха, считая ее постоянной. g = 10 м/с2.

Изобразим на рисунке силы, действующие на тело, и его ускорение и запишем 2-ой закон Ньютона в векторном виде (этот этап решения не является обязательным)

mg Fc ma .

Выберем положительное направление для вертикальной оси, на которую спроектируем обе части уравнения движения

mg + Fc = ma.

Величину ускорения найдем из кинематики, записав условие обращения скорости в ноль в верхней точке

0 = v0 at.

Заметим, что при записи кинематических уравнений мы не обязаны использовать те же оси, что для 2-го закона Ньютона, так как в обоих уравнениях a обозначает величину ускорения. Получаем

Задача 4. Автомобиль начал двигаться с ускорением 3 м/с2. При скорости 60 км/ч его ускорение стало равным 1 м/с2. Определите, с какой установившейся скоростью (в км/ч) будет двигаться автомобиль, если сила тяги мотора остается постоянной, а сила сопротивления пропорциональна скорости.

Условие, что сила сопротивления пропорциональна скорости, удобнее всего записать в явном виде, введя коэффициент пропорциональности k (и исключив его потом из уравнений). Тогда уравнение движения можно записать в виде

Fт kv = ma.

где Fт — сила тяги. Это уравнение надо записать для трех случаев. В начальный момент v = 0 и ускорение максимально: a0 = 3 м/с2. При скорости v1 = 60 км/ч ускорение равно a1 = 1 м/с2. Установившаяся скорость (обозначим ее v2) соответствует ситуации, когда сила сопротивления компенсирует силу тяги, т.е. ускорение равно нулю. Получаем систему трех уравнений

25

Задача 5. Начальная скорость тела равна 10 м/с. Считая, что на тело действует только сила сопротивления среды, пропорциональная его скорости, с коэффициентом пропорциональности 2 кг/с, найдите расстояние, пройденное телом до остановки. Масса тела 4 кг.

Запишем второй закон Ньютона (в проекции на направление, совпадающее с начальной скоростью)

max = kvx,

где k — коэффициент пропорциональности. Умножим обе части уравнения на малый интервал времени t и учтем, что ax t = vx и vx t = x

m vx = k x.

Разобьем конечный интервал движения на много малых интервалов и просуммируем обе части уравнения по всем интервалам. Получим

m(vx v0) = ksx.

В данной задаче vx = 0, т.е. s = sx = mv0/k = 20 м.

Задача 6. Какой угол (в градусах) с вертикалью составляет нить с грузом, подвешенным на тележке, которая движется в горизонтальном направлении с ускорением 10 м/с2? g = 10 м/с2.

На груз действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Выбрав одну из осей горизонтально (вдоль ускорения), а вторую — вертикально вверх, запишем уравнение движения в проекции на эти оси

Tsin = ma, Tcos mg = 0.

Исключив из этих уравнений силу T, получим tg ag 1,

т.е. = 45 .

Задача 7. На наклонной плоскости с углом наклона 30° к горизонту лежит брусок массой 5 кг. Наклонная плоскость стоит в лифте, движущемся с ускорением 2 м/с2, направленным вверх. Определите силу нормального давления кубика на плоскость. g = 10 м/с2. 3 = 1,7.

На тело действуют сила тяжести, сила нормальной реакции и сила трения покоя. Можно записать проекции уравнения движения на горизонтальную и вертикальную оси и из полученной системы уравнений, исключив Fтр, найти N. Попробуйте сделать это сами, а мы покажем другой подход. Выберем ось не вдоль уско-

26

рения, а вдоль силы реакции (перпендикулярно силе трения) и спроектируем на эту ось уравнение движения

N Fтр mg ma .

Получим

N mg cos = ma cos ,

откуда N = m(g + a)cos = 51 Н. Такой подход требует аккуратности, и его следует применять тогда, когда он заметно упрощает расчеты. Например, в предыдущей задаче можно обойтись одним уравнением, направив ось перпендикулярно нити, но решение от этого не становится проще.

Замечание. Ответ для силы реакции очень похож на выражение, которое получается в случае неподвижной наклонной плоскости. Отличие только в том, что на месте g стоит теперь (g + a), — как будто все свелось к изменению силы тяжести! (См. также задачу 2.) Это не случайное совпадение, а проявление общего правила, которое формулируется следующим образом: находясь в неинерциальной

системе отсчета, которая движется поступательно с ускорением aсо , можно,

как обычно, записывать 2-ой закон Ньютона, но к реальным силам надо добавить

силу инерции Fин maсо , или, что то же самое, силу тяжести mg заменить

движущейся СО. Перенеся maсо в левую часть равенства, получим уравнение движения тела в ускоренно движущейся СО

Fi ( maсо ) maотн .

Задача 8. Тело массой 1 кг находится на горизонтальной плоскости. На тело действует горизонтальная сила 2 Н. Определите силу трения, если коэффициент трения равен 0,3.

Стандартная ошибка состоит в том, что для силы трения не задумываясь при-

меняют формулу Fтр = N = mg и получают значение Fтр = 3 Н (N mg = = 0 — проекция уравнения движения на вертикальную ось). Но это значение больше, чем

сила тяги F = 2 Н — получается, что потянув тело в одну сторону, мы заставим его двигаться в другую! Ошибка состоит в том, что формула Fтр = N применима для силы трения скольжения, т.е. когда тело скользит по поверхности (или находится на грани скольжения), а в данном случае это не так. Тело покоится, и на него, кроме силы тяги F, действует сила трения покоя, которую находим из 2-го закона Ньютона

27

F Fтр = 0.

т.е. Fтр = F = 2 Н. Проверка предположения об отсутствии скольжения как раз и состоит в том, что это значение должно быть меньше или равно, чем максимальное значение силы трения покоя Fтр N.

Задача 9. С каким максимальным ускорением должен разгоняться грузовик, чтобы незакрепленный груз в его кузове не начал смещаться к заднему борту? Коэффициент трения груза о дно кузова равен 0,2. g = 10 м/с2.

Предположим, что ускорение грузовика достигло "критического" значения: груз еще не скользит, но находится на грани скольжения. Это значит, что сила трения покоя достигла максимального значения

Fтр = N,

где N находим из проекции уравнения движения на ось y N mg = 0.

Сила трения покоя направлена вперед — именно она сообщает грузу ускорение, равное ускорению грузовика

Fтр = ma.

Из этих уравнений находим ускорение: a = g = 2 м/с2.

Задача 10. Человек везет двое связанных саней, прикладывая силу под углом 30° к горизонту. Найдите эту силу, если известно, что сани движутся равномерно. Массы саней по 40 кг. Коэффициент трения 0,3. 3 = 1,7. g = 10 м/с2.

Так как двое саней движутся как одно целое, можно записать 2-ой закон Ньютона для системы двух саней, учитывая только внешние для этой системы силы

F cos Fтp 0, , F sin N mg 0.

где F — сила тяги, m = 80 кг — суммарная масса саней, Fтр — суммарная сила трения и N — суммарная нормальная реакция горизонтальной опоры. (Обратите внимание: хотя движение происходит по горизонтальной поверхности, реакция опоры N не равна mg.) Так как коэффициент трения у саней одинаковый, Fтр и N связаны соотношением

Fтр = N.

Из этих трех уравнений выражаем силу тяги

mg

F cos sin 240 Н.

28

Задача 11. За сколько секунд маленькая шайба соскользнет с наклонной плоскости высотой 2,5 м и углом наклона к горизонту 60°, если по наклонной плоско-

сти из такого же материала с углом наклона 30° она движется вниз равномерно? g = 10 м/с2.

Запишем 2-ой закон Ньютона для тела, соскальзывающего с наклонной плоскости

mg N Fòð ma .

Направим ось x параллельно наклонной плоскости (по ускорению), а ось y — перпендикулярно ей, и спроектируем уравнение движения на эти оси

mgsin Fтp ma,

N mgcos 0.

Дополнив эти уравнения формулой для силы трения скольжения

Fтр = N,

получим систему уравнений, из которой найдем ускорение a g(sin cos ).

Коэффициент трения найдем из условия, что при угле наклона = 30° шайба соскальзывает равномерно

g(sin cos ) 0,

т.е. tg 33. Время соскальзывания найдем из уравнения кинематики

Задача 12. По гладкой горизонтальной поверхности движутся два тела, связанные легкой нитью, под действием силы 10 Н, приложенной к первому телу и направленной под углом 60° к горизонту. Чему равна сила натяжения нити, если масса первого тела в 1,5 раза больше массы второго?

В данной задаче силы трения отсутствуют, силы нормальной реакции определять не нужно, поэтому на рисунке изображены только те силы, которые имеют проекцию на горизонтальную ось. Запишем в проекции на эту ось 2-ой закон Ньютона для всей системы и для второго тела

29

F cos = (m1 + m2)a,

T = m2a

(ускорения тел одинаковы вследствие нерастяжимости нити). Исключив ускорение, получим

Замечание. Постоянство силы натяжения нити вдоль ее длины является следствием ее невесомости. Записав 2-ой закон Ньютона для участка нити между точками 1 и 2: T1 T2 = mнa и учтя, что масса нити равна нулю, получим T1 = T2.

Задача 13. Два тела, лежащие на столе, соединены нитью. К более легкому телу приложена горизонтальная сила, в результате чего тела движутся по столу с ускорением. При этом сила натяжения нити составляет 4/5 величины приложенной силы. Во сколько раз масса легкого тела меньше массы тяжелого тела? Коэффициенты трения тел о стол одинаковы.

Запишем 2-ой закон Ньютона для первого и второго тела в проекции на горизонтальную ось

F m1g T = m1a,

T m2g = m2a

(мы учли, что

Fтр1 = N1 = m1g, то

же для m2). Чтобы исключить ускорение, поделим первое уравнение на m1, а второе — на m2, и приравняем левые части. Видно, что одновременно из уравнения уходит и коэффициент трения

F T T . m1 m2

Подставляя сюда T = 0,8F, получаем m2/m1 = 4.

Задача 14. Доска массой 12 кг находится на гладкой горизонтальной плоскости. На доске лежит брусок массой 3 кг. Коэффициент трения между доской и бруском 0,2. Какую минимальную горизонтальную силу надо приложить к доске, чтобы брусок начал с нее соскальзывать? g = 10 м/с2.

Рассмотрим ситуацию "на грани проскальзывания": доска и брусок еще движутся как одно целое, но сила трения покоя между ними уже достигла своего мак-

30

симального значения Fтр = N. Удобно начать рассмотрение с бруска, поскольку он движется только под действием силы трения

Fтр = m2a,

N m2g = 0.

Получаем Fтр = m2g, откуда a = g. Именно при этом ускорении системы

брусок начнет скользить по доске. Для определения силы F можно записать 2-ой закон Ньютона для доски (надо учесть, что на доску со стороны бруска действует сила трения, направленная назад и равная, по 3-му закону Ньютона, m2g). Но проще записать закон Ньютона для всей системы

F = (m1 + m2)a = (m1 + m2)g = 30 Н.

Задача 15. Через блок с неподвижной осью перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы по 400 г каждый. На один из грузов положили перегрузок массой

200 г. Найдите силу давления (в мН) перегрузка на груз в процессе движения. g = 10 м/с2.

Запишем уравнение движения для груза массой M, ускорение которого направлено вверх, и для груза с перегрузком общей массой M+m, ускорение которых направлено вниз, в проекции на вертикальную ось

T M g M a,

(M m)g T (M m)a

(положительное направление для каждого тела мы направили вдоль его ускорения). Равенство по величине ускорений правого и левого тела

является следствием нерастяжимости нити, а равенство сил натяжения на разных концах нити — следствием невесомости нити (см. задачу 12) и идеальности блока (для раскручивания невесомого блока без трения не нужен вращательный момент). Складывая уравнения, находим ускорение грузов

a m g. 2M m

Чтобы найти силу давления перегрузка на груз, запишем уравнение движения перегрузка (сила реакции со стороны груза равна силе давления по 3-му закону Ньютона) mg N = ma.

Получаем

N m(g a) 2Mm g 1,6 Н = 1600 мН.

2M m

31

Задача 16. К потолку кабины лифта, поднимающегося с ускорением 2 м/с2, прикреплен динамометр. К динамометру подвешен блок, свободно вращающийся вокруг горизонтальной оси. Через блок перекинута нить, к концам которой

прикреплены грузы массами 1 кг и 3 кг. Определите показания динамометра. g = 10 м/с2.

Из невесомости блока следует, во-первых, что силы натяжения нити T справа и слева от блока равны друг другу (для раскручивания невесомого блока без трения не нужен вращательный момент) и, во-вторых, что сила F, действующая на ось блока со стороны динамометра, равна 2T. Действительно, 2-ой закон Ньютона для блока имеет вид: F 2T = 0 (члены mg и ma равны нулю вследствие невесомости блока).

Найдем силу натяжения нити из уравнений движения для грузов. Выберем на этот раз общую ось y для обоих грузов (вертикально вверх). Получим

Тm1g = m1a1y,

Тm2g = m2a2y.

Из нерастяжимости нити следует кинематическая связь между ускорением блока (лифта) и ускорениями грузов (см. Глава 1, задача 36)

2a = a1y + a2y.

Решая совместно эти уравнения, получаем

Замечание. Ответ для силы натяжения нити выглядит так же, как и в случае неподвижного блока, только вместо g стоит (g + a). Это есть проявление общего

Задача 17. Невесомый стержень может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку, которая делит стержень в отношении 1:2. На концах стержня закреплены одинаковые грузы массой 0,5 кг каждый. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. С какой силой действует он на ось сразу после этого? g = 10 м/с2.

Первый груз начнет опускаться вниз с ускорением a1, второй груз — подниматься вверх с ускорением a2. Запишем для них 2-ой закон Ньютона в проекции на оси, совпадающие с ускорениями

mg N1 = ma1,

N2 mg = ma2,

где N1, N2 — силы, с которыми стержень действует на грузы.

32

Из невесомости стержня следует связь между силами: N2 = 2N1. Действительно, на стержень со стороны грузов действуют такие же силы, но направленные в другую сторону, а из невесомости стержня следует, что сумма вращательных моментов относительно

оси O равна нулю: N1(2l) = N2l. Из того же, что стержень жесткий, следует связь между ускорениями грузов: a1 = 2a2. Действительно, малое смещение груза 1 в два раза больше, чем смещение груза 2. Подставим эти связи в уравнения

Исключая ускорение, находим N1 = (3/5)mg, N2 = (6/5)mg. Из второго закона Ньютона для стержня следует, что сила, действующая на стержень со стороны оси, направлена вверх и равна N1+ N2 = (9/5)mg = 9 Н. Этому же равна сила R, действующая на ось (но она направлена вниз).

Задача 18. Какое расстояние пройдет тело, свободно падая без начальной скорости в течение 3 с у поверхности планеты, радиус которой на одну треть меньше радиуса Земли, а средняя плотность вещества на 40% меньше, чем средняя плотность Земли? g = 10 м/с2.

За время t тело пройдет путь

s gпt 2 , 2

Записав в таком же виде ускорение свободного падения на Земле, найдем отноше-

Подставляя gп = 4 м/с2 в формулу для s, получаем s = 18 м.

Задача 19. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 3600 км над поверхностью Земли? Радиус Земли 6400 км. Ускорение силы тяжести на поверхности Земли 10 м/с2.