2DYNAM

33

Из уравнения движения для спутника на высоте h

находим v2 = GM/(R + h). Из формулы для ускорения свободного падения на поверхности Земли выражаем GM = gR2. Окончательно получаем

Задача 20. Во сколько раз период обращения спутника, движущегося на расстоянии 21600 км от поверхности Земли, больше периода обращения спутника, движущегося на расстоянии 600 км от ее поверхности? Радиус Земли 6400 км.

Запишем уравнение движения для двух спутников, движущихся по круговым орбитам разных радиусов

где r1 = R + h1 = 28000 км и r2 = R + h2 = 7000 км — радиусы орбит, по которым движутся спутники, 1 = 2 /T1 и 2 = 2 /T2 — угловые скорости их вращения. Поделив уравнения друг на друга, получим

T12 r13 T22 r23

(3-й закон Кеплера для круговых орбит). Подставив r1/r2 = 4, получим T1/T2 = 8.

Задача 21. Автомобиль массой 1000 кг едет по выпуклому мосту, радиус кривизны которого 250 м, со скоростью 72 км/ч. С какой силой (в кН) давит автомобиль на мост в точке, направление на которую из центра кривизны моста со-

ставляет 30° с вертикалью? g = 10 м/с2.

3 = 1,72.

Из кинематики известно, что если направить ось координат по радиусу (от тела к центру окружности), то проекция ускорения на эту ось будет равна v2/R (или 2R). Проекция уравнения движения на эту ось имеет вид

N mgcos mv2 . R

34

Отсюда находим силу нормальной реакции N (которая по 3-му закону Ньютона равна силе давления на мост)

N mgcos mv2 7 кН. R

Задача 22. Вес некоторого тела на полюсе Земли на 313,6 мН больше, чем его вес на экваторе. Чему равна масса этого тела? Угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси 7 10 5 рад/с, радиус Земли 6400 км. Землю считать идеальным шаром.

По 3-му закону Ньютона вес равен силе реакции опоры. На полюсе тело покоится, а на экваторе — движется по окружности вследствие вращения Земли. Из уравнений движения тела в этих двух положениях

получаем N1 N2 = m 2R, откуда

N

m = 2R = 10 кг.

Задача 23. Тонкую цепочку длиной 1 м и массой 200 г замкнули в круглое кольцо, положили на гладкую горизон-

тальную поверхность и раскрутили вокруг вертикальной оси так, что скорость каждого элемента цепочки равна 5 м/с. Найдите натяжение цепочки.

Рассмотрим маленький участок цепочки, который виден из центра под углом и масса которого равна m = m(R)/l, где l — длина цепочки. На его концы действуют две силы натяжения F, угол между которыми равен (180 ). Равнодействующая этих сил равна F

и направлена к центру окружности. Уравнение движения этого участка имеет вид

F m v2 ,

R

откуда после подстановки m получаем

Задача 24. С какой минимальной скоростью должен ехать мотоциклист по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом 10 м, чтобы все время оставаться в одной горизонтальной плоскости? Коэффициент трения между шинами мотоцикла и поверхностью цилиндра 0,25. g = 10 м/с2.

Запишем 2-ой закон Ньютона в проекции на две оси: на горизонтальную ось x, направленную от тела к центру окружности,

N m v2 R

и на вертикальную ось y

Fтр mg = 0.

При "благополучной" езде сила трения покоя, приложенная к катящимся по поверхности колесам (в точке касания скорость равна нулю), уравновешивает силу тяжести. Такое устойчивое движение возможно лишь при достаточно большой скорости, когда сила нормальной реакции N удовлетворяет неравенству

Fтр N,

т.е. при

При уменьшении скорости до этого значения начнется соскальзывание мотоциклиста вниз.

Задача 25. Шарик, подвешенный на легкой нити к потолку, вращается по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости. Расстояние между точкой

подвеса и центром окружности 2,5 м. Найдите угловую скорость вращения шарика. g = 10 м/с2.

Уравнение движения в проекциях на горизонтальную (направленную к центру

окружности) и вертикальную оси имеет вид

Tsin = m 2R, Tcos mg = 0,

36

где — угол, который образует нить с вертикалью при вращении шарика, R — радиус окружности. Исключая из этих уравнений силу натяжения нити T и учитывая, что R = h tg , где h — расстояние от центра окружности до точки подвеса, получаем

hg 2 рад/с.

Задача 26. На внутренней поверхности сферы радиусом 2,75 м находится маленькая шайба. До какой максимальной угловой скорости можно раскрутить сферу вокруг вертикальной оси, чтобы шайба не проскальзывала, находясь на

165см ниже ее центра? Коэффициент трения равен 0,5, g = 10 м/с2.

Взадачах такого типа необходимо опреде-

лить направление проскальзывания (и, тем самым, направление силы трения в момент начала проскальзывания). В данном случае сила трения

покоя может быть направлена как вверх вдоль

поверхности (при малых ), так и вниз (при

больших ). Поскольку в условии просят опре-

делить максимальную угловую скорость, то силу

трения надо направить вниз (шайба начнет про-

скальзывать вверх). Второй закон Ньютона в

проекциях на горизонтальную и вертикальную

оси имеет вид

N sin Fтр cos m 2Rsin ,

N cos Fтр sin mg 0,

где cos = h/R = 0,6, sin = 0,8. Момент начала проскальзывания определяется условием Fтр = N. Подставив N в оба уравнения и исключив N, получим

g tg

5 рад с.

Rsin 1 tg